Was das Buch zeigt

In No-Nonsense Classical Mechanics verbringt der Autor einige Zeit damit, zu diskutieren, wie Punkttransformationen im Konfigurationsraum mit kanonischen Transformationen im Phasenraum korrespondieren:

Insbesondere demonstriert der Autor durch diesen Beweis , dass eine Punkttransformation$q \mapsto Q = Q(q)$impliziert, dass$p \mapsto P = \frac{\partial q}{\partial Q} p$.

Inwiefern ist dies kein Gegenbeispiel?

Ich bezweifle den Beweis nicht, aber ich habe Schwierigkeiten, dies intuitiv zu verstehen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir befinden uns im Kontext eines fallenden Balls, wo wir das über die Lagrange-Funktion demonstrieren können$p = m \dot{q}$. Es scheint mir, dass wenn$\dot{q} \mapsto \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q}$, Dann$p = m \dot{q}$wird dann zugeordnet

$$P = m \left( \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q} \right) = \frac{\partial Q}{\partial q} \left( m \dot{q} \right) = \frac{\partial Q}{\partial q} p$$

und natürlich widerspricht dies der Vorstellung, dass$p \mapsto P = \frac{\partial q}{\partial Q} p$. Was ist an meiner Überlegung falsch?