Was ist der Unterschied zwischen Konfigurationsraum und Phasenraum?

1) Konfigurationsraum ist gewissermaßen die möglichen "Positionen" des mechanischen Systems. Die Bewegungszustände, z. Geschwindigkeiten/Impulse sind nicht Teil des Konfigurationsraums.

Der Konfigurationsraum (insbesondere wenn Einschränkungen im Bild sind) wird als etwas Reales modelliert,$n$-dimensionale Differentialmannigfaltigkeit, die ich als bezeichnen werde$\mathcal{C}$.

Der Geschwindigkeitsphasenraum ist die Menge aller "Positionen" und "Geschwindigkeiten" zusammen. Wenn$\mathcal{C}$der Konfigurationsraum ist, dann hat der Geschwindigkeitsphasenraum natürlich die Struktur des Tangentialbündels über dem Konfigurationsraum,$T\mathcal{C}$. Wenn ein Punkt$p\in\mathcal{C}$angegeben ist, dann die Elemente der Faser$T_p\mathcal{C}$sind die möglichen verallgemeinerten Geschwindigkeiten des Systems im "$p$Aufbau".

Da die Lagrangedichte von Positionen und Geschwindigkeiten abhängt, liegt sie als Skalarfeld vor$T\mathcal{C}$.

Der Impulsphasenraum, der üblicherweise als Phasenraum bezeichnet wird, ist das Kotangensbündel$T^*\mathcal{C}$. In diesem Fall die Faser${T_{p}}^*\mathcal{C}$ist die Menge aller möglichen Impulse des Systems im "$p$Aufbau".

2) Ich glaube nicht, das Liouville-Theorem nutzt stark die Tatsache, dass der Impulsphasenraum natürlich eine symplektische Mannigfaltigkeit ist. Der Geschwindigkeitsphasenraum ist im Allgemeinen keine symplektische Mannigfaltigkeit. Um feststellen zu können, wie die Phasenströmung ein Volumen umwandelt, muss man eine Struktur haben, die das Volumen definiert, was im Impulsphasenraum die symplektische Form tut, während es im Geschwindigkeitsphasenraum keine solche kanonische Struktur gibt.

3) Leider bin ich mir nicht sicher genug, um eine endgültige Antwort zu posten.

1. Der Punkt im Konfigurationsraum repräsentiert die Konfiguration des Systems, dh Positionen der konstituierenden Teilchen. Der Punkt im Phasenraum stellt den Zustand des Systems dar, dh Positionen und Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen zusammen.

2. Nein. Der Satz von Liouville hat kein einfaches Analogon im Konfigurationsraum.

3. Hängt davon ab, was die Aufgabe ist und welche Vorlieben die Person hat, die daran arbeitet. Der Satz von Liouville spielt eine gewisse Rolle in der statistischen Physik, daher wird dort der Hamiltonsche Formalismus viel häufiger verwendet als der Lagrangesche Formalismus. Es gibt auch Fälle, in denen der Hamiltonsche Formalismus in der Mechanik verwendet wird; bei ungefähren astronomischen Berechnungen (Störungstheorie), bei Problemen mit kleinen Schwingungen und anderen.

   Es gibt jedoch Fälle, in denen es umständlich ist, das Hamilton-Schema aus dem bereits verfügbaren Lagrange-Schema oder Newtons Bewegungsgleichungen zu konstruieren (das Auffinden der Impulse und der Hamilton-Funktion ist manchmal sehr mühsam und in einigen Fällen ohne weitere Komplikationen, die als Einschränkungen bezeichnet werden, unmöglich). . Wenn es darum geht, einige Bewegungsgleichungen zu erhalten, ist der Lagrangesche Formalismus oder die Newtonsche Theorie oft einfacher zu verwenden und ausreichend.