Können alle kanonischen Transformationen mit einer Generierungsfunktion generiert werden?

In der Klassischen Mechanik hat eine Eichtransformation die Form

$$\begin{equation} L \to L' = L + \frac{dF(q,t)}{dt} \, . \end{equation}$$ Jede Transformation dieser Art lässt die Euler-Lagrange-Gleichung seit dem zusätzlichen Term invariant$\frac{dF(q,t)}{dt}$hier fällt einfach aus.

Im Gegensatz dazu ist die Euler-Lagrange-Gleichung im Allgemeinen nur unter Punkttransformationen kovariant$q \to Q=Q(q,t)$. Konkret liest die Euler-Lagrange-Gleichung die ursprünglichen Koordinaten ein

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial \dot{q}}\right) \end{equation}$$ und in Bezug auf die neuen Koordinaten $$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial Q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial \dot{Q}}\right) \end{equation}$$ Aber im Allgemeinen haben wir $$\mathcal{L}'(Q,\dot Q,t) \neq \mathcal{L}(Q,\dot Q,t) \, .$$ Daher behält die Euler-Lagrange-Gleichung unter einer allgemeinen Koordinatentransformation ihre Form, ist aber nicht invariant.

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Nun betrachten wir im Hamiltonschen Formalismus Phasenraumtransformationen und konzentrieren uns normalerweise auf kanonische Transformationen. Die entscheidende Bedingung der kanonischen Transformation ist, dass die Hamilton-Gleichungen ihre Form behalten, dh kovariant sind .

In einem zweiten Schritt werden jedoch meist kanonische Transformationen mit sogenannten erzeugenden Funktionen diskutiert. Diese zeigen sich, wenn wir die Hamilton-Gleichungen unter Verwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung für die Hamiltonsche Lagrange-Funktion ableiten

$$L_H = p \dot q- H \,.$$ Das Hauptargument ist, dass wir die Bedingung haben, wenn wir mit der gleichen Gleichung enden wollen , wenn wir die Koordinaten wechseln $$L_H - L_H' = \frac{dF}{dt}$$ $$\therefore \quad p \dot q- H - (P \dot Q- K) = \frac{dF}{dt} \, ,$$ Wo$K= H(q(Q,P),p(Q,P)$ist der Hamiltonoperator in Bezug auf die neuen Koordinaten$Q,P$. In Worten bedeutet dies, dass eine Transformation$q,p \to Q,P$was höchstens zu einer Änderung des Lagrange-Hamiltonoperators führt, der als totale Ableitung geschrieben werden kann, ergibt dieselben Hamilton-Gleichungen.

Soweit ich es verstehe, ist dies jedoch eine äußerst strenge Bedingung, die nur Transformationen umfasst, die die Hamilton-Gleichung invariant lassen . Aber wie oben argumentiert, ist eine allgemeine kanonische Transformation nur erforderlich, um die Form der Hamilton-Gleichungen unverändert zu lassen.

Daher meine Frage: Können alle kanonischen Transformationen mit einer Generierungsfunktion generiert werden?

Meiner obigen Überlegung folgend scheint es, dass, da wir für allgemeine kanonische Transformationen nur die Kovarianz der Hamilton-Gleichungen benötigen, diese nicht in der Analyse der erzeugenden Funktionen enthalten sind, die auf der Bedingung basiert, dass die Hamilton-Gleichungen invariant sind.