Hamilton-Jacobi-Gleichung mit Lagrangian zweiter Ordnung

Question

Hamilton-Jacobi-Gleichung mit Lagrangian zweiter Ordnung

Milo

H (Q, \frac{\partial S}{\partial Q}, T) + \frac{\partial S}{\partial T} = 0,

$\begin{equation} H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q},t\right)+\frac{\partial S}{\partial t}~=~0, \end{equation}$ Wo

S

$S$ ist Hamiltons Hauptfunktion .

Wenn wir eine zweite Bestellung annehmen $L$ so dass

L = L ({Q_{J}, {\dot{Q}}_{J}, {\ddot{Q}}_{J}}, T),

$L=L(\{q_j,\dot{q}_j,\ddot{q}_j\},t),$ ändert sich die Hamilton-Jacobi-Gleichung, oder wir könnten das immer berücksichtigen

\frac{\partial S}{\partial t} = - H

$\displaystyle\frac{\partial S}{\partial t}=-H$ ?

ACuriousMind

Welche Definition des "Hamiltonian" verwenden Sie für Lagrange-Operatoren höherer Ordnung? Es gibt mehrere (z. B. die von Ostrogradsky), die ähnlich, aber nicht gleich sind.

Milo

ähm, wenn es stimmt, dass ∂S/∂t=−H ist, würde ich meinen Hamiltonoperator aus \delta S definieren (was gleich L \delta t ist), also wird H =∑jp\dot{q}+∑ j ∂S/∂\dot{q} \ddot{q}−L (alle werden j indexieren)

Milo

@ACuriousMind darf ich das schreiben? Ich habe noch nie mit einem L höherer Ordnung gearbeitet.

ACuriousMind

Der Punkt ist - welcher Raum ist so neu

H

$H$ weiterleben? In der Einstellung erster Ordnung wechseln wir vom Lagrange-Tangentenbündel mit Koordinaten

(q, \dot{q})

$(q,\dot{q})$ zum Hamiltonschen Phasenraum/Kotangens-Bündel mit Koordinaten

(q, p)

$(q,p)$ . Aber hier kann man die Legendre nicht einfach verwandeln

\dot{q}

$\dot{q}$ , müssen Sie irgendwie damit umgehen

\ddot{q}

$\ddot{q}$ Abhängigkeit. Dafür gibt es Differenzschemata, die zu unterschiedlichen Vorstellungen des endgültigen Hamilton-Operators führen, daher ist nicht genau klar, was Sie hier tun möchten.

Milo

Was ich in meinem Kommentar geschrieben habe, ist absolut falsch :) Es tut mir leid! Also habe ich mich entschieden, den Ostogradsky-Hamiltonian zu verwenden. Aber ich weiß immer noch nicht, ob die Hamilton-Jacobi-Gleichung überhaupt noch gilt.

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Hamilton-Jacobi-Gleichung mit Lagrangian zweiter Ordnung

Welche Definition des "Hamiltonian" verwenden Sie für Lagrange-Operatoren höherer Ordnung? Es gibt mehrere (z. B. die von Ostrogradsky), die ähnlich, aber nicht gleich sind.
ähm, wenn es stimmt, dass ∂S/∂t=−H ist, würde ich meinen Hamiltonoperator aus \delta S definieren (was gleich L \delta t ist), also wird H =∑jp\dot{q}+∑ j ∂S/∂\dot{q} \ddot{q}−L (alle werden j indexieren)
@ACuriousMind darf ich das schreiben? Ich habe noch nie mit einem L höherer Ordnung gearbeitet.
Der Punkt ist - welcher Raum ist so neu $H$ weiterleben? In der Einstellung erster Ordnung wechseln wir vom Lagrange-Tangentenbündel mit Koordinaten $(q,\dot{q})$ zum Hamiltonschen Phasenraum/Kotangens-Bündel mit Koordinaten $(q,p)$ . Aber hier kann man die Legendre nicht einfach verwandeln $\dot{q}$ , müssen Sie irgendwie damit umgehen $\ddot{q}$ Abhängigkeit. Dafür gibt es Differenzschemata, die zu unterschiedlichen Vorstellungen des endgültigen Hamilton-Operators führen, daher ist nicht genau klar, was Sie hier tun möchten.
Was ich in meinem Kommentar geschrieben habe, ist absolut falsch :) Es tut mir leid! Also habe ich mich entschieden, den Ostogradsky-Hamiltonian zu verwenden. Aber ich weiß immer noch nicht, ob die Hamilton-Jacobi-Gleichung überhaupt noch gilt.

QMechaniker · Answer 1

I) Unterdrücken wir die explizite Zeitabhängigkeit $t$ aus der Notation im Folgenden. Gegeben sei ein Lagrangian zweiter Ordnung

\begin{matrix} (1) & L (Q, v, A); \end{matrix}

$L(q,v,a); \tag{1}$

Wo $q^i$ sind Positionen, $v^i$ sind Geschwindigkeiten, $a^i$ sind Beschleunigungen, und wo $i\in\{1,\ldots,n\}$ .

II) Wir möchten die entsprechende Ostrogradsky -Hamiltonsche Formulierung finden. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Hesse

\begin{matrix} (2) & H_{ich J} = \frac{\partial^{2} L}{\partial A^{ich} \partial A^{J}} \end{matrix}

$H_{ij}~=~\frac{\partial^2L}{\partial a^i\partial a^j} \tag{2}$

ist invertierbar. $^1$ Dann ist der Ostrogradsky-Hamiltonoperator definiert als

\begin{matrix} (3) & H (Q, P) := P_{ich} v^{ich} + sup_{A} (π_{ich} A^{ich} - L (Q, v, A)), \end{matrix}

$H(Q,P)~:=~ p_iv^i + \sup_a\left(\pi_i a^i-L(q,v,a)\right) ,\tag{3}$

wobei wir die Sammelnotation eingeführt haben

\begin{matrix} (4) & Q^{ICH} = {Q^{ich}; v^{ich}}, P_{ICH} = {P_{ich}; π_{ich}}, ICH \in {1, \dots, 2 N} . \end{matrix}

$Q^I~=~\{q^i;v^i\},\qquad P_I~=~\{p_i;\pi_i\},\qquad I~\in~\{1,\ldots,2n\}.\tag{4}$

III) Im Sinne meiner Phys.SE-Antwort hier führen wir eine erweiterte Lagrange-Funktion ein $^2$

\begin{matrix} (5) & L_{E} (Q, \dot{Q}, P, A) := P_{ich} ({\dot{Q}}^{ich} - v^{ich}) + π_{ich} ({\dot{v}}^{ich} - A^{ich}) + L (Q, v, A) \end{matrix}

$L_E(Q,\dot{Q},P,a)~:=~p_i(\dot{q}^i-v^i)+\pi_i(\dot{v}^i-a^i)+L(q,v,a)\tag{5}$

Wenn wir uns integrieren $P_I$ , $v^i$ Und $a^i$ in der erweiterten Lagrange-Funktion (5) erhalten wir die Lagrange-Funktion selbst zurück

\begin{matrix} (6) & L (Q, \dot{Q}, \ddot{Q}) . \end{matrix}

$L(q,\dot{q},\ddot{q})\tag{6} .$

Wenn wir uns nur raus integrieren $a^i$ im erweiterten Lagrange (5) erhalten wir den Ostrogradsky-Hamilton-Lagrange

\begin{matrix} (7) & L_{H} (Q, \dot{Q}, P) := P_{ICH} {\dot{Q}}^{ICH} - H (Q, P) . \end{matrix}

$L_H(Q,\dot{Q},P)~:=~P_I\dot{Q}^I - H(Q,P).\tag{7}$

Dies impliziert, dass die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen höherer Ordnung von (5) äquivalent zu den Standard- Hamilton-Gleichungen in sind $Q^I$ Und $P_I$ ! Mit anderen Worten, im nicht-singulären Fall (2) können wir die Standard -Hamilton-Jacobi-Theorie (HJ) für diesen Fall wiederverwenden ! Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Phasenraum (4) doppelt so groß ist.

--

$^1$ Wenn die hessische Matrix singulär ist, treten Einschränkungen auf , und die Hamiltonsche Formulierung und die Hamilton-Jacobi-Theorie werden als Ergebnis modifiziert.

$^2$ Variieren wir die erweiterte Lagrange-Funktion (5) bzgl. Zu $a^i$ Und $v^i$ , erhalten wir die Ostrogradsky- Impulse

\begin{matrix} (8) & π_{ich} \approx \frac{\partial L}{\partial A^{ich}}, \end{matrix}

$\pi_i~\approx~\frac{\partial L}{\partial a^i} ,\tag{8}$ Und

\begin{matrix} (9) & P_{ich} \approx \frac{\partial L}{\partial v^{ich}} - {\dot{π}}_{ich} \approx \frac{\partial L}{\partial v^{ich}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial A^{ich}}, \end{matrix}

$p_i ~\approx~\frac{\partial L}{\partial v^i}- \dot{\pi}_i~\approx~\frac{\partial L}{\partial v^i}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial a^i} ,\tag{9}$ bzw. [Der

\approx

$\approx$ Vorzeichen bedeutet Gleichheit modulo Bewegungsgleichungen.]

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Milo

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QMechaniker

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