Hamilton-Jacobi-Gleichung

I) Mindestens drei verschiedene Größen werden in der Physik üblicherweise als Wirkung bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet$S$.

1. Die (Off-Shell) -Aktion

   $$S[q]~:=~ \int_{t_i}^{t_f}\! dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t) \tag{1}$$ ist ein Funktional der vollständigen Positionskurve/-pfad$q^i:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$für alle Zeiten$t$im Intervall$[t_i,t_f]$. Siehe auch diese Frage. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind oder nicht.)

2. Wenn das Variationsproblem $(1)$mit wohlgestellten Randbedingungen, zB Dirichlet-Randbedingungen

   $$q(t_i)~=~q_i\quad\text{and}\quad q(t_f)~=~q_i,\tag{2}$$ hat einen einzigartigen extremalen/klassischen Pfad$q_{\rm cl}^i:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$, ist es sinnvoll, eine On-Shell-Aktion zu definieren $$S(q_f;t_f;q_i,t_i) ~:=~ S[q_{\rm cl}], \tag{3}$$ was eine Funktion der Randwerte ist. Siehe zB MTW Abschnitt 21.1.

3. Die Hauptfunktion des Hamilton$S(q,\alpha, t)$in der Hamilton-Jacobi-Gleichung ist eine Funktion der Positionskoordinaten$q^i$, Integrationskonstanten$\alpha_i$, und Zeit$t$, siehe zB H. Goldstein, Classical Mechanics, Kapitel 10. Die totale Zeitableitung

   $$\frac{dS}{dt}~=~ \dot{q}^i \frac{\partial S}{\partial q^i}+ \frac{\partial S}{\partial t}\tag{4}$$ ist gleich der Lagrange-Funktion$L$on-shell, wie hier erklärt . Infolgedessen die Hauptfunktion des Hamilton$S(q,\alpha, t)$kann als Aktion auf der Schale interpretiert werden.

II) Beispiel: Ein nicht-relativistisches freies Teilchen in 1 Dimension.

1. Die Off-Shell-Aktion ist

   $$S[q]~=~ \frac{m}{2}\int_{t_i}^{t_f}\! dt \ \dot{q}(t)^2.\tag{5}$$

2. Wenn wir Dirichlet-Randbedingungen (2) annehmen, die eindeutige klassische Trajektorie$q_{\rm cl}$hat konstante Geschwindigkeit

   $$\dot{q}_{\rm cl}~=~\frac{q_f-q_i}{t_f-t_i}.\tag{6}$$ Die Dirichlet-On-Shell-Aktion (3) ist $$S(q_f,t_f;q_i,t_i) ~=~ \frac{m}{2} \cdot \frac{(q_f-q_i)^2}{t_f-t_i}. \tag{7}$$

3. Die Hauptfunktion von Hamilton, dh eine Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung, ist

   $$S(q,E,t)~=~\pm\sqrt{2m E} q - Et,\tag{8}$$ wo$E$ist eine Integrationskonstante (= die Gesamtenergie). Aufgrund der Interpretation von Hamiltons Hauptfunktion als Typ-2-Generator kanonischer Transformationen , der partiellen Ableitung $$Q~:=~ \frac{\partial S}{ \partial E}~\stackrel{(8)}{=}~\pm\sqrt{\frac{m}{2E}}q -t \tag{9}$$ muss eine Bewegungskonstante sein. Mit anderen Worten, die Position$q(t)$ist, wie erwartet, eine affine Funktion der Zeit$t$. Dies impliziert, dass die Geschwindigkeit konstant ist $$\dot{q} ~\approx~\pm\sqrt{\frac{2E}{m}}, \tag{10}$$ bei dem die "$\approx$" Symbol bedeutet Gleichheit modulo eom. Die Gesamtzeitableitung der Hamilton-Hauptfunktion (8) ist gleich der Lagrange-Funktion (= der kinetischen Energie) auf der Schale $$\frac{dS}{dt}~\stackrel{(8)}{=}~ \pm\sqrt{2m E} \dot{q} -E ~\stackrel{(10)}{\approx}~E.\tag{11}$$

4. Vergleichen wir nun Punkt 2 und 3. Mit den Dirichlet-Randbedingungen (2) wird die Energie zu

   $$E~=~ \frac{m}{2} \cdot \left(\frac{q_f-q_i}{t_f-t_i}\right)^2. \tag{12}$$ Ein Vergleich von Gl. (6) und (10) zeigt, dass wir den Plus- (Minus-)Zweig der Lösung (8) verwenden sollten, wenn$q_f\geq q_i$($q_f\leq q_i$), beziehungsweise. Es ist einfach zu überprüfen, dass der Unterschied in der Hamilton-Hauptfunktion zur On-Shell-Aktion wird (7), $$\begin{align} S(q_f,E,t_f)~-~& S(q_i,E,t_i)\cr ~\stackrel{(8)+(12)}{=}&~\frac{m}{2} \cdot \frac{(q_f-q_i)^2}{t_f-t_i}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~~& S(q_f,t_f;q_i,t_i).\end{align}\tag{13}$$

Das Aktionsfunktional und die Hauptfunktion von Hamilton sind zwei verschiedene mathematische Objekte, die sich auf dieselbe physikalische Größe beziehen.

Die Aktion entlang einer Flugbahn$\gamma:[t_1,t_2]\rightarrow Q$wird von gegeben

$$S[\gamma] = \int_{t_1}^{t_2}L(\gamma(t'),\dot\gamma(t'),t')dt'$$ wohingegen die Hauptfunktion die Lösung der Hamilton-Jacobi-Gleichung ist $$H(q,\nabla S(q,t),t) + \frac{\partial S}{\partial t}(q,t) = 0$$

Wenn Sie mit bezeichnen$\gamma_{q,t}$die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen mit

$$\gamma_{q,t}(t_0)=q_0\\ \gamma_{q,t}(t)=q$$ dann $$S(q,t):=S[\gamma_{q,t}]=\int_{t_0}^{t}L(\gamma_{q,t}(t'),\dot\gamma_{q,t}(t'),t')dt'$$ löst die Hamilton-Jacobi-Gleichung.

Auf der anderen Seite haben wir für die Hauptfunktion Folgendes

$$\frac{d}{dt}S(\gamma(t),t)=L(\gamma(t),\dot\gamma(t),t)$$ und somit $$S[\gamma]=S(\gamma(t_2),t_2)-S(\gamma(t_1),t_1)$$

Beachten Sie, dass die letzten beiden Gleichungen nur für Trajektorien mit gelten

$$\frac{\partial L}{\partial\dot q}(\gamma(t),\dot\gamma(t),t) = \nabla S(\gamma(t),t)$$

Geometrisch wird durch die Wahl der Integrationskonstanten der Hauptfunktion ein Blatt einer Schieferung des Phasenraums ausgewählt, das der Wahl der Anfangsbedingung entspricht$\gamma_q(t_0)=q_0$von oben.

Ich denke, die anderen beiden Antworten sind übertrieben. Die einfachere Antwort ist diese Zeit$t$ist keine Dummy-Variable. Die Einbindung von$L$Im Laufe der Zeit ist hier eine unbestimmte Integration, also wenn wir haben$L(q,\dot{q},t)$, und wir wollen es im Laufe der Zeit integrieren$t$, Das Ergebnis ist

$$\int_{t_i}^tL(q,\dot{q},\tau)d\tau$$ hier$\tau$ist die Dummy-Variable aber$t$nicht, und das Ergebnis ist eine Funktion von$t$.