Wie leitet man die Lagrange-Bewegungsgleichung von einem Routhian ab?

Nein. Die Koordinate$r$stil folgt der Euler-Lagrange-Gleichung, aber$\phi$Und$p_\phi$folgen Sie den Hamilton-Gleichungen. Aber diese sind trivial, was der springende Punkt des Routhian ist. Die Motivation ist, dass der Routhianer es nicht wirklich ist$R(r, \dot r, \phi, p_\phi)$aber eben$R(r, \dot r)$mit konstantem Parameter$p_\phi$.$\phi$ist keine Koordinate, da es per Definition eine zyklische Koordinate im Lagrange war und daher auch nicht im Routh erscheint. Das Momentum$p_\phi$, wird unterdessen konserviert, also ist es wirklich nur eine Konstante. Mit diesen beiden Bedingungen können wir einfach beide herausnehmen und mitgehen$p_\phi$eine Konstante, und wir landen bei einem Problem mit 1 weniger effektiven Dimensionen. Dasselbe würde bei Verwendung des vollständigen Hamilton-Operators zutreffen, aber manchmal ist es einfacher, mit Lagrange-Operatoren für den "harten" Teil des Problems (die nicht zyklischen Koordinaten) zu arbeiten, und der Routh-Operator lässt Sie für den schwierigen Teil "Lagrange-Operator" bleiben.

Hier ein konkretes Beispiel. Nehmen Sie den Lagrange-Operator, der ein harmonisches Potential in Polarkoordinaten beschreibt:

Seit$\phi$erscheint nicht im Lagrange, es ist eine zyklische Koordinate. Aus der Euler-Lagrange-Gleichung

es folgt dem

ist eine Erhaltungsgröße. Es wäre schön zu nehmen$\dot\phi$aus dem Satz von Koordinaten und ersetzen Sie es einfach durch die Konstante$p_\phi$. Dann hätten wir im Wesentlichen einen Lagrange, dessen einzige Koordinaten sind$r$Und$\dot r$, nur mit einem konstanten Parameter$p_\phi$. Der richtige Weg, dies zu tun, besteht darin, den Routhian zu machen

(Nebenbei: Versuche es zu lösen$\dot \phi$bezüglich$p_\phi$und in die Lagrangedichte einsetzen. Sie erhalten etwas ganz anderes, was zu sehr falschen Ergebnissen führen wird. Wenn Sie die zyklische Koordinate entfernen möchten, müssen Sie eine Legendre-Transformation bezüglich dieser Koordinate durchführen.).

Da die Legendre-Transformation wrt durchgeführt wurde$\theta$Und$\phi$, folgen diese Koordinaten den Hamilton-Gleichungen (mit entsprechendem Vorzeichenwechsel). Aber das ist trivial:

Was wir hier erreicht haben, ist im Wesentlichen die Trennung von Variablen.$\phi$hat eine eigene Bewegungsgleichung, die beinhaltet$r$, aber die Bewegungsgleichung von$r$ist unabhängig von$\phi$. Wir können die Bewegungsgleichung von lösen$r$, was ein praktisch eindimensionales Problem ist, und gehen Sie dann zurück, um herauszufinden, wie$\phi$entwickelt sich.

Das effektive eindimensionale Problem hat ein effektives Potenzial

Dieser zusätzliche Begriff, der klein aufbläst$r$, wird als Zentrifugalbarriere bezeichnet und erklärt, dass die Drehimpulserhaltung es dem betreffenden Teilchen erschwert / unmöglich macht, den Ursprung zu erreichen. Die Koordinaten$r$Und$\dot r$hatte keine Legendre-Transformation angewendet, also folgen sie immer noch der Euler-Lagrange-Gleichung

Eine Folgefrage könnte lauten: "Ja, es ist praktisch, nicht bei einem vollständigen Lagrange-Operator zu bleiben, aber warum nicht einfach einen vollständigen Hamilton-Operator verwenden?" Die Antwort hier hängt wahrscheinlich vom Kontext des spezifischen Problems ab. Mit dem Routhian müssen wir eine Differentialgleichung 2. Ordnung lösen und dann ein Integral, um das eom zu finden$\phi$. Mit einem vollständigen Hamilton-Operator hätten wir ein System aus zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung, gefolgt von demselben Integral. Eine könnte einfacher zu lösen sein, oder besser rechnerisch usw.

1. Einstellung. Stellen Sie sich vor, dass der Konfigurationsraum beispielsweise aus kleinen und großen verallgemeinerten Positionen besteht $q^j$Und$Q^J$, mit entsprechenden Geschwindigkeiten$v^j$Und$V^J$, und Momente$p_j$Und$P_J$, bzw.

2. Routhian. Der Routhianer

   $$\begin{align}R(q,Q,v,P,t) ~=~&V^JP_J-L(q,Q,v,V,t)\cr ~=~& H(q,Q,p,P,t)-v^jp_j \end{align} \tag{R}$$ ist ein Hybrid zwischen [und einer partiellen Geschwindigkeits-Impuls-Legendre-Transformation weg von] der Lagrange-Funktion $$L(q,Q,v,V,t)\tag{L}$$ und der Hamiltonian $$H(q,Q,p,P,t),\tag{H}$$ so dass die kleinen Geschwindigkeitsvariablen$v^j$und die Kapitalimpulsvariablen$P_J$werden aufbewahrt.

3. Wirkprinzip . Die Routhschen Gleichungen sind die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen für die Routhsche Aktion

   $$S_R[q,Q,v,P]~=~\int \! dt~L_R(q,Q,\dot{q},\dot{Q},P,t), \tag{SR}$$ mit Routhian Lagrange $$L_R (q,Q,\dot{q},\dot{Q},P,t) ~:=~\dot{Q}^JP_J-R(q,Q,\dot{q},P,t) ,\tag{LR}$$ was zu Lagrange-Gleichungen für die kleinen Variablen und Hamilton-Gleichungen für die großen Variablen führt.

4. Die Motivation besteht darin, die üblichen Vorteile sowohl von der Lagrange- als auch von der Hamilton-Seite zu ernten. Beispiele:

   • Wenn die Kapitalposition Variablen$Q^J$sind zyklische Variablen [was bedeutet, dass$L$,$R$Und$H$nicht abhängen$Q^J$], dann die Kapitalimpulsvariablen$P_J$sind Bewegungskonstanten . Wir können daher die dynamischen Variablen herabstufen$(Q^J,P_K)$auf externe Parameter des Modells. Ein Wirkungsprinzip für die verbleibenden dynamischen Variablen (dh die kleinen Variablen) ist dann durch das Zeitintegral von (minus) dem Routhian gegeben

     $$-\int \! dt~R(q,\dot{q},t).$$ Für eine einfache Anwendung siehe zB diesen Phys.SE Beitrag.

   • Wenn die Lagrange$L$hängt affin ab$v^j$und nicht-affin an$V^J$ergibt die Faddeev-Jackiw-Methode für Formulierungen erster Ordnung die Routhsche Wirkung$S_R$.