Wirkungsprinzip, Lagrange-Mechanik, Hamilton-Mechanik und Erhaltungssätze bei Annahme der Aristotelischen Mechanik F=mvF=mvF=mv

Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik

Um zu starten, müssen Sie nicht$\vec F~=~m\vec v$nur aus Dimensionsgründen. Statt Masse$m$könnten wir verwenden$\vec F_v~=~\sigma\vec v$. Dies ist eine Kraft aufgrund von Viskosität oder Reibung. Wir können dann eine potentielle Energie schreiben, indem wir das Arbeits-Energie-Theorem verwenden$\int\vec F_v\cdot d\vec r$ $=~\sigma\int\vec v\cdot d\vec r$. Weil$\vec v~=~d\vec r/dt$wir haben$W~=~\sigma\int\vec v\cdot\vec v dt$. Jetzt definieren wir eine Art von Potential$U~=~-W$.

Alles sieht gut aus, aber es gibt ein Problem. Gehen wir zurück zu$\int\vec F_v\cdot d\vec r$und betrachte die Integration um eine Schleife mit konstantem Radius$R$. Die Integrationsvariable ist der Winkel$\theta$so dass$d\vec r~=~R\vec\theta d\theta$. Na klar dann$\vec v\cdot d\vec r$ $=~R^2\omega d\theta$für die Geschwindigkeit$\vec v~=~R\omega\vec\theta$für eine Konstante$\omega$Winkelgeschwindigkeit. Dies bedeutet, dass die geschlossene Integration ist

Die Kraft$\vec F_v~=~\sigma\vec v$ist nicht konservativ und zeigt an, dass Energie und Aktion oder Drehimpuls weggenommen werden, z$\sigma~<~0$, oder für dieses Positiv bedeutet es, dass es eine Energiequelle oder ein "Drehmoment" gibt, das einen Drehimpuls (Aktion) in das System einbringt.

Aristotelische Mechanik mit konservativen "Kräften" kann geschrieben werden als$m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L=0$, wo ich das Potenzial bezeichnet habe$L$anstatt$V$weil seine Dimension die des Drehimpulses ist, und ich möchte nicht, dass die Leute sagen: "Das geht wegen der Dimensionsanalyse nicht". Euler-Lagrange-Gleichungen erster Ordnung sind erreichbar, indem man eine Hilfsvariable einführt, nämlich$L=\vec{y}\cdot\left(m\dot{\vec{x}}+\vec{\nabla}L\right)$. Es lohnt sich, diese Verschiebung durch eine Gesamtableitung vorzunehmen$\vec{y}$dynamisch, z.$L=\vec{y}\cdot\vec{\nabla}L-m\vec{x}\cdot\dot{\vec{y}}$. (Die Schrödinger-Gleichung erhält man aus einer Lagrange-Funktion, in der die „Hilfsvariable“ steht$\psi^\ast$, weil komplexe Zahlen einen solchen "Erfinde-nichts-Neues"-Trick zulassen. Die Verschiebung um eine totale Ableitung wird in diesem Fall durch den Wunsch nach Hermitizität gerechtfertigt.)

Variierend$\vec{y}$gibt uns das ELE, das wir wollen. (Der Vollständigkeit halber variierend$x_i$gibt uns$\sum_jy_j\partial_i\partial_j L-m\dot{y}_i=0$mit$\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x_i}$, dh$m\dot{\vec{y}}-\vec{\nabla}\left(y\cdot\vec{\nabla}L\right)=0$.) Ich überlasse es als Übung, Terme für nicht-konservative Kräfte hinzuzufügen, in Analogie dazu, wie dies eine Lagrange-Formulierung der Newtonschen Mechanik mit nicht-konservativen Kräften erreicht.

Eugene Wigner diskutierte die Symmetrien und Erhaltungssätze der aristotelischen Physik in dem sehr kurzen Artikel Conservation Laws in Classical and Quantum Physics . Die üblichen Erhaltungssätze gelten nicht.