Begründung des Least-Action-Prinzips durch Erhaltung von Informationen

1. Im Lagrange-Formalismus zum Raum der On-Shell-Pfade im Konfigurationsraum gibt es eine Analogie zum Hamilton-Fluss und zum Satz von Liouville im Hamilton-Formalismus im Phasenraum , vgl. zB Art.-Nr. 1 und Urs Schreibers Phys.SE antworten hier .

2. Beispiel. Für einen Lagrange-Operator der Form$L=\frac{m}{2} \dot{q}^2-V(q)$, kann man mit der Euler-Lagrange (EL)-Gleichung zeigen$^1$

   $$\begin{align} m\ddot{q}~\approx~&-V^{\prime}(q)\cr ~\Downarrow~& \cr m\delta \ddot{q}~\approx~&-V^{\prime\prime}(q)\delta q,\end{align}\tag{A}$$ dass die 2-Form $$\omega~=~ m \delta \dot{q} \wedge \delta q\tag{B}$$ ist eine Bewegungskonstante (COM), $$\dot{\omega}~\stackrel{(B)}{=}~ m \delta \ddot{q}\wedge\delta q ~\stackrel{(A)}{\approx}~0,\tag{C}$$ vgl. Gl. (14) & (15) in Ref.-Nr. 1. Zu wissen, dass der entsprechende Hamiltonoperator gerecht ist$H=\frac{p^2}{2m}+V(q)$, das ist vielleicht nicht so überraschend.

3. Aber im Allgemeinen für einen beliebigen Lagrange$L(q,\dot{q},t)$, unter Verwendung der EL-Gleichungen

   $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}~\approx~\frac{\partial L}{\partial q^k} \tag{D}$$ und ihre Folgen $$\begin{align} \frac{d}{dt}&\left(\delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial\dot{q}^k}+\delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial\dot{q}^k}\right)\cr ~\approx~&\delta q^j\frac{\partial^2 L}{\partial q^j\partial q^k}+\delta \dot{q}^j\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^j\partial q^k},\end{align} \tag{E}$$ man kann zeigen, dass die 2-Form $$\begin{align}\omega ~=~&\delta\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k\cr ~=~&\left( \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} + \delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k\end{align}\tag{F}$$ ist ein COM $$\begin{align}\dot{\omega}~\stackrel{(F)}{=}~&\frac{d}{dt}\left( \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} + \delta \dot{q}^j\frac{\partial^2L}{\partial \dot{q}^j\partial \dot{q}^k}\right)\wedge\delta q^k \cr &+ \delta q^j\frac{\partial^2L}{\partial q^j\partial \dot{q}^k} \wedge\delta \dot{q}^k\cr ~\stackrel{(E)}{\approx}~&0.\end{align}\tag{G}$$ In diesem Sinne bleibt die Lautstärke/Information auch in der Lagrange-Einstellung erhalten.

Verweise:

1. C. Crnkovic & E. Witten, Kovariante Beschreibung des kanonischen Formalismus in geometrischen Theorien. Veröffentlicht in Dreihundert Jahre Gravitation (Hrsg. SW Hawking und W. Israel), (1987) 676.

2. N. Reshetikhin, Vorlesungen zur Quantisierung von Eichsystemen, arXiv:1008.1411 ; Unterabschnitt 3.2.1.

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$^1$Hier das$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo der EL-Gleichungen, dh auf der Schale.

Der Raum aller Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichungen im Konfigurationsraum ist äquivalent zum Phasenraum. In der Tat gibt es für eine gegebene Anfangsbedingung (bestehend aus einem Ort und einer Geschwindigkeit) eine eindeutige Lösung, und (unter der Annahme einer festen Gesamtmasse) bestimmt die Geschwindigkeit den Impuls. Daher stehen die Punkte des Phasenraums (dh Paare von Orts- und Impulsvektoren) in 1-1-Übereinstimmung mit der Menge aller Lösungen.

Wie Ron Maimon betont, hat diese Beschreibung des Phasenraums den Vorteil, dass sie keine bestimmte Zeit herausgreift; man kann aus dem Raum aller Lösungen eine traditionelle Phasenraumbeschreibung zu einem beliebigen Zeitpunkt erhalten, indem man die Lösung und ihre erste Ableitung (Zeit die Masse) zu diesem Zeitpunkt betrachtet.

Dies ist ein entscheidender Vorteil bei kovarianten Formulierungen relativistischer Theorien, wo Raum und Zeit gleichberechtigt auftreten sollen. Daher wird der lösungstechnisch beschriebene Phasenraum auch als kovarianter Phasenraum bezeichnet. Der kovariante Phasenraum trägt eine natürliche symplektische Form und eine zugehörige Poisson-Klammer, die als Peierls-Klammer bezeichnet wird . Siehe zB

• C. Crnkovic, Symplektische Geometrie des kovarianten Phasenraums. Classical and Quantum Gravity, 5 (1988), 1557.

und die Physics SE-Threads hier und hier .

Dies ist wahrscheinlich nicht so streng wie die Antwort, nach der Sie suchen, aber lassen Sie mich vorschlagen, dass Sie einfach eine kleine Anzahl von Punkten in einem einfachen Phasenraum darstellen könnten, mit Position in einer räumlichen Dimension auf Ihrer x-Achse und Impuls auf der y-Achse. Beginnen Sie mit (0,0), (0,1) und (1,0), um es einfach zu machen. Wenn Sie mit dem Satz von Liouville beginnen, dass die durch diese Punkte definierte Fläche im Laufe ihrer Entwicklung nicht größer werden kann, können Sie sehen, dass jede Anordnung, die die durch Ihre Punkte definierte Fläche vergrößert, entweder eine Impulsänderung ohne Grund oder eine Positionsänderung beinhalten muss. ohne Schwung, um es zu erklären. Das wären die Kennzeichen einer Verletzung des Prinzips der kleinsten Maßnahme. Dann könnte man es natürlich verallgemeinern und viel rigoroser machen. Ich könnte mich irren,