Konstante der Bewegung

Question

Konstante der Bewegung

Marco81

Eine Übung von Goldstein (9.31-3rd Ed) möchte dies für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator zeigen $u(q,p,t)$ ist eine Bewegungskonstante wo

u (Q, P, T) = \ln (P + ich M ω Q) - ich ω T

$u(q,p,t)=\ln(p+im\omega q)-i\omega t$ Und

ω = (k / m)^{1 / 2}

$\omega=(k/m)^{1/2}$ . Die Demonstration ist einfach, aber die physikalische Bedeutung der Bewegungskonstante ist mir nicht so klar. Das kann ich in der Tat zeigen

u

$u$ kann umgeschrieben werden wie:

u (Q, P, T) = ich ϕ + \ln (M ω A)

$u(q,p,t)=i\phi+\ln(m\omega A)$ Wo

ϕ

$\phi$ ist die Phase und

A

$A$ die Amplitude der Schwingung des Oszillators. Das kann ich auch nachweisen

m ω A = \sqrt{2 m E}

$m\omega A=\sqrt{2mE}$ , Wo

E

$E$ ist die Gesamtenergie des Oszillators. Aber es gibt noch eine weitere Bedeutung von

u

$u$ dass ich vermisse?

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Konstante der Bewegung

Davidmh · Answer 1

Es ist eine funktionale Kombination anderer Konstanten: der Energie (eine weitere Bewegungskonstante) und der Anfangsbedingung. Dies wäre dasselbe wie der Beweis, dass in der klassischen Mechanik $E^2 + \log(L)$ mit $L$ wobei der Gesamtdrehimpuls eine Konstante ist. Es hat keine neue physikalische Bedeutung, die über das hinausgeht, was Sie bekommen haben.

Wenn Sie das alles nicht wussten, könnten Sie die Tatsache nutzen, dass $u$ ist eine Konstante, um zu zeigen, dass die Amplitude oder die Energie Konstanten sind.

Sie bestätigen meinen Eindruck, dass es nichts anderes als eine Kombination aus Bewegungskonstante und Phase gab. Vielleicht ist das genau die Antwort, die Goldstein im Sinn hatte. Danke.

Nick · Answer 2

Die Größe innerhalb des natürlichen Logarithmus scheint proportional zum klassischen Analogon des Erhöhungsoperators in der Quantenmechanik zu sein:

A_{+} = \frac{1}{\sqrt{2 M}} (\frac{ℏ}{ich} \frac{D}{D X} + ich M ω X) A_{+} = \frac{1}{\sqrt{2 M}} (\hat{P} + ich M ω Q)

$a_{+}= \frac{1}{\sqrt{2m}}\bigg(\frac{\hbar{}}{i}\frac{d}{dx}+im\omega{}x\bigg)\\ a_{+}= \frac{1}{\sqrt{2m}}\bigg(\hat{p}+im\omega{}q\bigg)$ Wo

\hat{p}

$\hat{p}$ ist der quantenmechanische Impulsoperator und ich habe x in die verallgemeinerte Koordinate q geändert, um die Ähnlichkeit mit dem Problem zu zeigen.

Wie Sie bemerkt haben, $\omega{}t$ bezieht sich auf $\phi{}$ .

Schlussfolgerung: Diese Bewegungskonstante u hängt wahrscheinlich mit dem Auftriebsoperator für ein zeitabhängiges Problem zusammen.

Aber diese Frage war für ein klassisches System, nicht wahr?

Konstante der Bewegung

Marco81

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Davidmh

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