Wie findet man Nullpunktschwingungen für dieses System?

Es ist ein interessantes Problem. Normalerweise würden Sie die unendlich kleinen Schwingungen durch Einstellung finden$p_i = b + \delta p_i$,$q_i = a + \delta q_i$und Erweitern des Hamilton-Operators auf die zweite Ordnung in der$\delta p_i$,$\delta q_i$. Hier funktioniert dies jedoch nicht, da Sie nur denselben Hamilton-Operator erhalten,

$$H = \sum_{i,j} M_{ij} \sqrt{(\delta p_i - \delta p_j)^2 + (\delta q_i - \delta q_j)^2}$$ Ich schätze, das wussten Sie bereits. Das Ergebnis sagt Ihnen jedoch etwas Wichtiges: Das Problem hat eine Skaleninvarianz. Kartierung $p_i \to \alpha p_i$, $q_i \to \alpha q_i$Und $t \to \alpha t$für Skalierungsfaktor $\alpha$(Wo $t$ist Zeit) reproduziert genau die gleichen Bewegungsgleichungen.

Wenn ein Problem eine natürliche Längenskala hat$l$dann können Sie nach infinitesimalen Lösungen um das Gleichgewicht herum suchen: dh Lösungen wo$\delta q_i \ll l$für alle$i$und die in führender Reihenfolge korrekt sind$\delta q_i /l$. Die Normalmoden des Systems sind Infintesimallösungen, die ein einfaches harmonisches Oszillatorverhalten haben. Das Fehlen eines natürlichen Maßstabs bei diesem Problem bedeutet, dass es nicht möglich ist, von „unendlich kleinen Lösungen“ zu sprechen, da es keine Möglichkeit gibt, zu definieren, was „unendlich klein“ bedeutet. Aus dem gleichen Grund können Sie nicht erwarten, dass das System normale Schwingungsmodi hat.

Es kann immer noch möglich sein, ungefähre Lösungen zu finden, aber es ist schwer zu wissen, welche Art von Annäherung gemacht werden soll, ohne zu wissen, an welcher Art von Verhalten/Fragen Sie interessiert sind (z. B. einige Formen von$M_{ij}$möglicherweise einfacher als andere).

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Beachten Sie, dass das System einige Erhaltungsgrößen hat:

$$\sum_{n} z_n = \mathrm{constant}$$ $$\sum_{m , n} M_{mn}|z_n-z_m| = \mathrm{constant}$$ Und $$\sum_n |z_n|^2 = \mathrm{constant}$$ Die ersten beiden beziehen sich auf die Symmetrien der Translation in $z$und rechtzeitig. Die dritte folgt aus der Symmetrie unter $z_n \to z_n e^{i\theta}$. Die Skaleninvarianz scheint kein damit verbundenes Erhaltungsgesetz zu haben.

Nachweis drittes Erhaltungsgesetz:

$\frac{d}{dt}\sum_n z_n {z_n}^\ast = \sum_n (\dot{z}_n {z_n}^\ast + z_n {\dot{z}_n}^\ast) = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{(z_m-z_n){z_n}^\ast - z_n({z_m}^\ast - {z_n}^\ast)}{|z_m-z_n|} = \sum_{n,m} i M_{mn} \frac{z_m{z_n}^\ast - z_n{z_m}^\ast}{|z_m-z_n|}$

Der Summand ist unter Permutation von antisymmetrisch$m$Und$n$, und daher ist die Gesamtsumme null.

So weit ich gekommen bin: Das Folgende sind exakte Lösungen für die Phasenraumentwicklung eines Systems von$N$Objekte. Diese Lösungen können als stationäre Gleichgewichte betrachtet werden. Gibt es eine Möglichkeit, Störungstheorie relativ zu diesen Lösungen zu machen?

MarkA hat gezeigt, dass es drei Erhaltungsgrößen gibt

$$\sum_n z_n = \rm const\,,\quad \sum_n |z_n|^2 = {\rm const}, \quad \sum_{nm} M_{nm} |z_n - z_m| = {\rm const}$$ MarkA hat auch eine räumliche Skaleninvarianz bemerkt. Die ersten beiden implizieren, dass die Bewegung begrenzt ist, die Skaleninvarianz impliziert unendliche langreichweitige Wechselwirkungen, was darauf hindeutet, dass symmetrische Gitter- oder symmetrische Polygonmassenverteilungen stabile Normalmoden wie in der Festkörperphysik darstellen können.

Zunächst betrachten wir den Fall von$M_{nm}=M$für alle$n\neq m$. In allen Fällen zeigen die Lösungen Starrkörperrotation im Phasenraum.

Gleichseitiges Polygon (Eckpunkte) Eine besondere Lösung ist

$$z_n(t) = a + b \,e^{2\pi i n/N}e^{i \omega t} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ Wo $a$Und $b$sind willkürliche Konstanten, die jeweils die Position des Massenschwerpunkts und die Größe und Anfangsorientierung des Polygons festlegen und $$\omega= \sum_{n=1}^{N-1}M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ | 1 - e^{2\pi i n/N} |} = \sum_{n=1}^{N-1} M \frac{1 - e^{2\pi i n/N}}{ 2 \sin (\pi n/N) } = -i M\sum_{n=1}^{N-1} e^{\pi i n/N} = M\cot \frac{\pi}{2N}$$ Wir können dem Massenmittelpunkt des Polygons ein Objekt hinzufügen, das diese Konfiguration beibehalten würde.

Liniensegment Anfänglich äquidistante Objekte entlang eines Liniensegments weisen ebenfalls stabile Drehungen auf. Die Konfiguration dreht sich um ihren Ursprung mit einer vom räumlichen Maßstab unabhängigen Winkelgeschwindigkeit

$$z_n(t) = a + b \frac{n-1}{N-1} e^{i \omega t (n-N)/2} \quad n\in\{1,2,\dots, N\}$$ $$\omega =\sum_{n=1}^{N-1} M(n-1) = M \frac{N(N-1)}{2}$$

Die Winkelgeschwindigkeit ist immer unabhängig von der Größe der Störung$b$. Jedes Objekt verhält sich wie ein harmonischer Oszillator.

Es ist denkbar, dass die gleichmäßige Drehung starrer Objekte eine breitere Klasse von Lösungen dafür bilden$M_{ij} = m_im_j$. Ist das wahr?

Unendliche Systeme $N$muss in den vorherigen Beispielen nicht endlich sein. Der$N\rightarrow \infty$Grenze ist ein kreisförmiger Draht aus zirkulierenden Objekten oder ein gerader Stab, der sich um seinen Massenmittelpunkt dreht.

Symmetrisch unendlich symmetrische Gitter

$$z_n = a n + b m \quad n {\rm ~ and ~}m\in Z$$ sind statisch, wenn $M_{nm}=M$oder allgemeiner wenn $M_{nm}$misst den Abstand entlang des Netzes mit einer beliebigen translations- und rotationsinvarianten Metrik.

Inhomogene Kopplungen If$M_{nm}$endliche blockdiagonale Matrizen sind, bei denen alle Elemente innerhalb eines bestimmten Blocks gleich, aber über verschiedene Blöcke hinweg unterschiedlich sind, dann können wir die vorherigen Lösungen überlagern. Die jedem Block zugeordneten Starrkörper-Polygone drehen sich unabhängig um ihren Massenmittelpunkt.

Wenn$M_{nm}$"fast" blockdiagonal ist, mit kleinen, aber nicht null diagonalen Blöcken (relativ zu den diagonalen Blöcken), dann werden sich die verschiedenen Polygone, die im Phasenraum ausreichend weit voneinander entfernt sind, um ihre Zentren drehen, und die Zentren werden sich entsprechend langsam umkreisen Kopplungskoeffizienten in den nichtdiagonalen Blöcken. Beachten Sie, dass "ausreichend weit" einen großen Winkeldurchmesserabstand bedeutet , so dass die verschiedenen Objekte innerhalb der zwei unterschiedlichen Strukturen durch ungefähr den gleichen komplexen Winkel im Phasenraum getrennt sind.

Die schwache außerdiagonale Kopplung wird die Polygone auf sehr langen Zeitskalen verzerren.