Hamiltonsches System mit Geschwindigkeitssingularität

Es ist einfach, das Phänomen zu verstehen, indem man einfach die Energieeinsparung verwendet.

NB Ich gehe fortan davon aus $\phi \geq 0$.

Da der Lagrange-Operator nicht explizit zeitabhängig ist, bleibt der Hamilton-Operator entlang der Lösungen erhalten:

$$\sqrt{1-p(t)^2} + \phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ Die Entwicklung des Systems bleibt notwendigerweise entlang einer zusammenhängenden Komponente der Kurve oben in der Ebene $\psi, p$, bestimmt durch die Anfangsbedingungen. Um die Dynamik zu verstehen, wäre es sehr hilfreich, die Kurven zu zeichnen $$\sqrt{1-p^2} + \phi \cos \psi =E$$ für verschiedene Werte von $E$, aber ich verfolge weiterhin einen analytischen Ansatz.

Angenommen, dass eine bestimmte Zeit die Geschwindigkeit von$\psi$divergiert, dh$p(t)=\pm 1$, daher

$$\phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ Wenn Sie auch davon ausgehen $p(0)=0$wie du geschrieben hast, hast du $$\phi \cos \psi(t) = 1+\phi \cos \psi(0)\:.$$ Nämlich $$\cos \psi(t) = \frac{1}{\phi} + \cos \psi(0)\:.$$ Seit $|\cos \psi(t)|\leq 1$Und $|\cos \psi(0)|\leq 1$, diese Identität ist nur möglich, wenn $1/\phi \leq 2$das ist $$\phi \leq \frac{1}{2}\:.\tag{1}$$ Vorausgesetzt, da $|\cos \psi(t)|\leq 1$wir haben $$-1 -\frac{1}{\phi} \leq \cos \psi(0) \leq 1-\frac{1}{\phi} \leq 1$$ Die linke Bedingung ist seitdem immer erfüllt $-1 -\frac{1}{\phi} < -1 \leq \cos \psi(0)$. Die andere Bedingung führt zu $$\cos \psi(0) \leq 1-\frac{1}{\phi}$$ was impliziert, Umgang mit $\psi(0) \in [0,2\pi]$ $$\pi -\cos^{-1}\left(1- \frac{1}{\phi}\right) \geq \psi(0) \geq \cos^{-1}\left(1- \frac{1}{\phi}\right)\:.\tag{2}$$ (1) und (2) sind notwendige Bedingungen für die Existenz von Lösungen mit $p(0)=0$so dass $\psi'(t)$weicht seit einiger Zeit ab $t$.

Dass sie auch ausreichend sind, lässt sich nur durch eine genauere Betrachtung der Frage nachweisen, wann es darauf ankommt$(\psi(t),p(t))$darf entlang einer zusammenhängenden Komponente der Kurve anhalten

$$\sqrt{1-p(t)^2} + \phi \cos \psi(t) = \sqrt{1-p(0)^2} + \phi \cos \psi(0)\:.$$ Andernfalls muss sich der Punkt entlang der gesamten verbundenen Komponente bewegen, um die anomalen Punkte mit zu erreichen $p=\pm 1$wenn sie in die Kurve dürfen. Stopps entlang der Kurve sind nichts anderes als die Nullstellen des Gradienten des Hamilton-Operators.

Wenn

$$\phi > \frac{1}{2}\:,$$ Die Energieeinsparung verhindert, dass das System pathologische Lösungen zulässt, wenn diese Lösungen zufriedenstellend sind $p(t_0)=0$für einige $t_0$in ihrem Bereich (da das System autonom ist, können wir immer wechseln $t_0$Zu $0$).

Wenn ich versuche, die Bewegungsgleichungen numerisch zu integrieren, gibt der Löser eine Lösung für ψ mit einem unstetigen Sprung an der Singularität, wobei ψ von einem bestimmten Wert ausgeht$−ψ_0$Zu$ψ_0$.

Ich denke, es ist nur ein Problem des Lösers. Diese Konfigurationen$(\pm 1, \psi_0)$im Konfigurationsbereich$(p,\psi)$haben aus geometrischer Sicht nichts Pathologisches. Nur die Kurve$\psi=\psi(p)$durchläuft$(\pm 1, \psi_0)$und hat dort senkrechte Tangente (parallel zu$p = \pm 1$) seit

$$\frac{d\psi}{dp} = \frac{\psi'}{p'} = - \frac{p}{\phi \sqrt{1-p^2} \sin \psi}\:,$$ es sei denn, die Katastrophe passiert genau um $(\pm 1, k\pi)$erfordert eine differenziertere Analyse.