Versuch, die 2D-Toda-Gittergleichung mit Lax Pair Approach zu lösen

Ich arbeite an diesem Hamiltonian:

$$H = \frac{p_1^2 + p_2^2}{2m} + e^{q_2-q_1} + e^{q_2} + e^{-q_1} -3$$ Vielen Dank für den Hinweis, dass es sich um eine Modifikation der Toda-Gittergleichung handelt. Lassen Sie mich skizzieren, was ich bisher versucht habe und warum es nicht funktioniert: Analog zu den erwähnten Veröffentlichungen, die ich vorgestellt habe $$b_n:= \frac{1}{2}Exp{(\frac{q_n-q_{n+1}}{2})}\\ a_n:= -\frac{p_n}{2}$$ wo es direkt mit folgt $\frac{\partial H}{\partial q_i}=-p_i$Und $\frac{\partial H}{\partial p_i}=q_i$: $$\dot{b_n} = (a_{n+1} - a_n)b_n \\ \dot{a_n} = 2 (b_{n}^2 - b_{n-1}^2)$$ Wenn Sie jetzt das Lax Pair verwenden $L$, $B$: $$L f_n = b_n f_{n+1} +b_{n-1} f_{n-1} + a_n f_{n}$$

$$B f_n = b_n f_{n+1} - b_{n-1} f_{n-1}$$ das kann man zeigen $\partial_t L=[B,L]$. Mein Problem entsteht bei der Definition der Grenzbedingungen meines Paares $q_1$Und $q_2$im 2d-Gitter oben, da man zur 3d-Darstellung wechseln muss $\{b_0,b_1,b_2\}$um die periodischen Bedingungen zu erfüllen (Eine gemeinsame Koordinate $q_3 = 0$an die anderen gekoppelt). Da lässt sich das leicht zeigen $\dot{\lambda} = 0$(Wo $\lambda$ist ein Eigenwert $Lv=\lambda v$) reduzieren sich die Bewegungskonstanten auf die Berechnung der Eigenwerte. Aber in diesem Fall sind die Eigenwerte von $L$Scheint nicht zu vereinfachen, tatsächlich scheint es keine Lösung zu sein, was mein ursprüngliches Ziel war.

Im Allgemeinen scheint dieser Ansatz für das 2d-Problem zu viel des Guten zu sein, da er das n-dimensionale Toda-Gitter löst.

1. Kennt jemand einen einfacheren Ansatz für das 2d-Problem?

2. Die Matrix$L$scheint die falsche Lösung zu liefern:

   $$L = \begin{pmatrix} a_0 & b_0 & 0 \\ b_0 & a_1 & b_1\\ 0 & b_1 & a_2 \end{pmatrix}$$ Die Matrix löst nichts$\partial_t L = [B,L]$(mit$B=L_+ - L_-$) noch sind Eigenwerte Bewegungskonstanten. Was ist schief gelaufen?

3. Da hier die Methode der inversen Streuung angewendet werden kann, habe ich versucht, die Streudaten zu erhalten, aber eigentlich war ich nicht in der Lage, die Aufgabe zu lösen. Irgendwelche Literatur?