Lösung der Bewegung im Hamiltonschen Formalismus

Question

Sonnenaufgang

Ich habe diese kanonischen Gleichungen:

\dot{P} = - a P Q

$\dot p = - \alpha pq$

\dot{Q} = \frac{1}{2} a Q^{2}

$\dot q =\frac{1}{2} \alpha q^2$

ich muss finden $q(t)$ und P $(t)$ , unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen $p_0$ Und $q_0$ .

Ich dachte, beide Mitglieder der Gleichungen einfach zeitlich zu integrieren, aber irgendetwas muss falsch sein, denn die Lösungen sind:

Q (T) = \frac{Q_{0}}{1 - \frac{1}{2} a Q_{0} (T - T_{0})}

$q(t)=\frac{q_0}{1- \frac{1}{2} \alpha q_0 (t-t_0)}$

P (T) = P_{0} [1 - \frac{1}{2} a Q_{0} (T - T_{0})]

$p(t)=p_0[1-\frac{1}{2} \alpha q_0 (t-t_0)]$ und ich weiß nicht, wie man sie bekommt ...

JoshPhysik · Answer 1

Der $q$ Gleichung ist eine separierbare ODE, die direkt integriert werden kann. Beachten Sie dazu, dass es geschrieben werden kann als

\frac{D Q}{D T} = \frac{1}{2} a Q^{2}

$\frac{dq}{dt} = \frac{1}{2}\alpha q^2$ so dass beide Seiten mit multipliziert werden

d t

$dt$ und Integration von

t_{0}

$t_0$ Zu

t

$t$ gibt

\frac{2}{a} \int_{Q_{0}}^{Q (T)} \frac{1}{Q^{2}} D Q = \int_{T_{0}}^{T} D T^{'}

$\frac{2}{\alpha}\int_{q_0}^{q(t)}\frac{1}{q^2}dq = \int_{t_0}^t dt'$ was nach der Integration impliziert

- \frac{2}{a} [\frac{1}{Q (T)} - \frac{1}{Q_{0}}] = T - T_{0}

$-\frac{2}{\alpha}\left[\frac{1}{q(t)}-\frac{1}{q_0}\right] = t-t_0$ Als nächstes lösen Sie nach

q (t)

$q(t)$ . Setzen Sie dies wieder in die erste Gleichung ein, trennen Sie die Variablen erneut und integrieren Sie, um zu erhalten

p (t)

$p(t)$ .

Hoffentlich hilft das!

Physik-Felsen.

Vielen Dank!!! Ich habe gerade angefangen, ODE zu studieren ... könnten Sie die ersten Schritte aufschreiben, die Sie befolgen müssen, um zum ersten Ausdruck zu gelangen, den Sie geschrieben haben? Danke noch einmal!
Danke schön!! Ich habe ein Problem (das letzte Problem! :D): Ich habe nicht verstanden, was ich wo zurückstecken muss. Wenn ich das bedenke $H=E=\frac{1}{2}\alpha p q^2$ und das $2E=\alpha p q^2=\alpha p_0 q_0^2$ und ich q(t) in diese Relation zurücksetze, erhalte ich das richtige Ergebnis für p(t). Aber wenn ich es wieder einstecke $\dot p=..$ , erhalte ich ein falsches Ergebnis (p(t) ist eine logarithmische Funktion... ). Was ist falsch?
Setze wieder in deine erste Gleichung ein für $p$ . Wenn Sie dort Variablen trennen, ist das Integral vorbei $t$ wird auch ein Protokoll geben, und die Protokolle sollten am Ende ausfallen.
Hallo Joshphysics! :) Ich habe diese Übung nach Monaten erneut gemacht und einen Aspekt gefunden, den ich unterschätzt habe, und deshalb habe ich eine neue Frage gestellt.. physical.stackexchange.com/questions/66621/… könnten Sie mir erneut helfen? vielen Dank!