Finden Sie den Hamiltonoperator bei p˙p˙\dot p und q˙q˙\dot q

Question

Finden Sie den Hamiltonoperator bei p˙p˙\dot p und q˙q˙\dot q

Sonnenaufgang

Ich habe diese Gleichungen:

\dot{P} = A P + B Q,

$\dot p=ap+bq,$

\dot{Q} = C P + D Q,

$\dot q=cp+dq,$

und ich muss die Bedingungen finden, wie die Gleichungen kanonisch sind. Dann muss ich den Hamiltonian finden $H$ .

Um die erste Frage zu beantworten, ich habe das auferlegt

\frac{\partial}{\partial Q} (\frac{\partial H}{\partial P}) + \frac{\partial}{\partial P} (- \frac{\partial H}{\partial Q}) = 0

$\frac{\partial}{\partial q}(\frac{\partial H}{\partial p})+\frac{\partial }{\partial p}(-\frac{\partial H}{\partial q})=0$

\frac{\partial}{\partial Q} (C P + D Q) + \frac{\partial}{\partial P} (A P + B Q) = 0

$\frac{\partial}{\partial q}(cp+dq)+\frac{\partial }{\partial p}(ap+bq)=0$

\Rightarrow D + A = 0.

$\Rightarrow d+a=0.$

Und so habe ich, dass die kanonischen Gleichungen in der Form sind:

\dot{P} = A P + B Q,

$\dot p=ap+bq,$

\dot{Q} = C P - A Q .

$\dot q=cp-aq.$

Aber wie finde ich den Hamiltonian? Das Ergebnis muss sein $H=-apq-\frac{1}{2}bq^2+\frac{1}{2}cp^2$ . Der allgemeine Ausdruck $H=\sum p_i \dot q_i-L$ hilft mir nicht.

Nikolaj-K

Du identifizierst dich selbst

\partial H / \partial p

$\partial H/\partial p$ mit

c p + d q

$c\ p+d\ q$ usw. Warum nicht einfach integrieren? Auch, wie Ihr System liest

\dot{π} = A π

$\dot\pi=A\pi$ , mit Konstante

A = ((a, b), (c, d))

$A=((a,b),(c,d))$ , ich vermute, dass der quadratische Ansatz

H = x p^{2} / 2 + y q^{2} / 2 + z p q

$H=x\ p^2/2+y\ q^2/2+z\ pq$ könnte einen Versuch wert sein.

Sonnenaufgang

@NickKidman: Es tut mir leid, aber ich habe es nicht verstanden. Ich habe (in der Frage) das Ergebnis hinzugefügt, das ich erhalten muss. Insbesondere habe ich die Argumentation zu A nicht verstanden: Was ist A?

Michael

Wenn

π = (p, q)

$\pi = (p, q)$ ein (Phasenraum-)Vektor ist und

A = ((a, b), (c, d))

$A=\left((a,b), (c,d)\right)$ ist ein

2 \times 2

$2\times2$ Matrix dann Ihre Bewegungsgleichungen lesen

\dot{π} = A π

$\dot{\pi}=A\pi$ . Wenn das nicht hilft, machen Sie sich keine Sorgen. Sie können eine partielle Ableitung integrieren: wenn Sie es wissen

\partial H / \partial p = f (p, q)

$\partial H/\partial p = f(p,q)$ Dann

H = \int f d p + g (q)

$H = \int f \mathrm{d}p + g(q)$ , Wo

g (q)

$g(q)$ ist eine Funktion von

q

$q$ Sie müssen mit der anderen Hamilton-Gleichung bestimmen. Überprüfen Sie dieses Ergebnis, indem Sie die Ableitung bilden

\partial / \partial p

$\partial/\partial p$ um sicherzustellen, dass Sie es verstehen.

Sonnenaufgang

@MichaelBrown Danke für deine Hilfe! aber wie finde ich

g (q)

$g(q)$ mit dem ersten eq?

Michael

Kein Problem. Stecken Sie ein, was Sie vom ersten Schritt erhalten, und sehen Sie, was Sie bekommen!

Sonnenaufgang

@MichaelBrown mmh..

\int \frac{\partial H}{\partial p} d p = 1 / 2 c p^{2} + d q p

$\int \frac{\partial H}{\partial p} dp=1/2cp^2+dqp$ aber d=-a ->

\int \frac{\partial H}{\partial p} = 1 / 2 c p^{2} - a q p

$\int \frac{\partial H}{\partial p}=1/2cp^2-aqp$ .. :) Für den letzten Teil des Ergebnisses muss ich die ganze Zahl eingeben

\partial H \partial q

${\partial H}{\partial q}$ und einsteigen

g

$g$ nur die Terme, die nur Funktion von q sind?

Michael

@Sonnenaufgang Ja. Jetzt hast du also

H = \frac{1}{2} c p^{2} - a q p + g (q)

$H = \frac{1}{2} c p^2 - a q p + g(q)$ für einige

g (q)

$g(q)$ . Die andere Hamilton-Gleichung sagt

\dot{p} = - \partial H / \partial q = \dots

$\dot{p}=-\partial H/\partial q=\cdots$ . Aber von dem, was Sie gerade gefunden haben

- \partial H / \partial q = a p - g^{'} (q)

$-\partial H/\partial q = a p - g'(q)$ Wo

g^{'} (q) = d g / d q

$g'(q) = \mathrm{d}g/\mathrm{d}q$ mit der vollen Ableitung, da

g

$g$ ist eine Funktion von

q

$q$ nur. Also noch eine Integration...

Sonnenaufgang

@MichaelBrown Oh, fantastisch! Ich habe es! :D Kann ich diese Schritte jedes Mal befolgen, wenn ich eine solche Übung machen muss? (Wenn Sie eine Antwort schreiben würden, werde ich Ihre Antwort als akzeptierte Antwort markieren !!)

Antworten (1)

Finden Sie den Hamiltonoperator bei p˙p˙\dot p und q˙q˙\dot q

Du identifizierst dich selbst $\partial H/\partial p$ mit $c\ p+d\ q$ usw. Warum nicht einfach integrieren? Auch, wie Ihr System liest $\dot\pi=A\pi$ , mit Konstante $A=((a,b),(c,d))$ , ich vermute, dass der quadratische Ansatz $H=x\ p^2/2+y\ q^2/2+z\ pq$ könnte einen Versuch wert sein.
@NickKidman: Es tut mir leid, aber ich habe es nicht verstanden. Ich habe (in der Frage) das Ergebnis hinzugefügt, das ich erhalten muss. Insbesondere habe ich die Argumentation zu A nicht verstanden: Was ist A?
Wenn $\pi = (p, q)$ ein (Phasenraum-)Vektor ist und $A=\left((a,b), (c,d)\right)$ ist ein $2\times2$ Matrix dann Ihre Bewegungsgleichungen lesen $\dot{\pi}=A\pi$ . Wenn das nicht hilft, machen Sie sich keine Sorgen. Sie können eine partielle Ableitung integrieren: wenn Sie es wissen $\partial H/\partial p = f(p,q)$ Dann $H = \int f \mathrm{d}p + g(q)$ , Wo $g(q)$ ist eine Funktion von $q$ Sie müssen mit der anderen Hamilton-Gleichung bestimmen. Überprüfen Sie dieses Ergebnis, indem Sie die Ableitung bilden $\partial/\partial p$ um sicherzustellen, dass Sie es verstehen.
@MichaelBrown Danke für deine Hilfe! aber wie finde ich $g(q)$ mit dem ersten eq?
Kein Problem. Stecken Sie ein, was Sie vom ersten Schritt erhalten, und sehen Sie, was Sie bekommen!
@MichaelBrown mmh.. $\int \frac{\partial H}{\partial p} dp=1/2cp^2+dqp$ aber d=-a -> $\int \frac{\partial H}{\partial p}=1/2cp^2-aqp$ .. :) Für den letzten Teil des Ergebnisses muss ich die ganze Zahl eingeben ${\partial H}{\partial q}$ und einsteigen $g$ nur die Terme, die nur Funktion von q sind?
@Sonnenaufgang Ja. Jetzt hast du also $H = \frac{1}{2} c p^2 - a q p + g(q)$ für einige $g(q)$ . Die andere Hamilton-Gleichung sagt $\dot{p}=-\partial H/\partial q=\cdots$ . Aber von dem, was Sie gerade gefunden haben $-\partial H/\partial q = a p - g'(q)$ Wo $g'(q) = \mathrm{d}g/\mathrm{d}q$ mit der vollen Ableitung, da $g$ ist eine Funktion von $q$ nur. Also noch eine Integration...
@MichaelBrown Oh, fantastisch! Ich habe es! :D Kann ich diese Schritte jedes Mal befolgen, wenn ich eine solche Übung machen muss? (Wenn Sie eine Antwort schreiben würden, werde ich Ihre Antwort als akzeptierte Antwort markieren !!)

QMechaniker · Answer 1

I) OP erhält eine Aufgabe der Form

\begin{matrix} (1) & \dot{Q} = F (Q, P), \dot{P} = G (Q, P), \end{matrix}

$\tag{1} \dot{q}~=~f(q,p), \qquad \dot{p}~=~g(q,p),$

Wo $f$ Und $g$ sind zwei gegebene glatte Funktionen. OP wird gebeten, die Integrierbarkeitsbedingung für die Gl. (1) die Hamilton-Gleichungen sein.

\begin{matrix} (2) & \dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial P}, \dot{P} = - \frac{\partial H}{\partial Q} . \end{matrix}

$\tag{2} \dot{q}~=~\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot{p}~=~-\frac{\partial H}{\partial q}.$

OP schließt das richtig ab

\begin{matrix} (3) & F = \frac{\partial H}{\partial P}, G = - \frac{\partial H}{\partial Q}, \end{matrix}

$\tag{3} f~=~\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad g~=~-\frac{\partial H}{\partial q},$

und dass die Integrierbarkeitsbedingung die Beziehung vom Maxwell-Typ ist

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial F}{\partial Q} + \frac{\partial G}{\partial P} = 0. \end{matrix}

$\tag{4} \frac{\partial f}{\partial q}+\frac{\partial g}{\partial p}~=~0.$

Michael Brown erklärt das dann in einem Kommentar

\begin{matrix} (5) & F (Q, P) = \int^{P} D P^{'} F (Q, P^{'}) \end{matrix}

$\tag{5} F(q,p)~=~\int^{p}\!dp^{\prime}~f(q,p^{\prime})$

ist eine Stammfunktion / primitives Integral / unbestimmtes Integral des Gegebenen $f$ Funktion, damit

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial F}{\partial P} = F, \end{matrix}

$\tag{6} \frac{\partial F}{\partial p}~=~f,$

dann Gl. (3a) und (6) implizieren dies

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial (H - F)}{\partial P} = 0. \end{matrix}

$\tag{7} \frac{\partial (H-F)}{\partial p}~=~0.$

Mit anderen Worten, der Unterschied $H-F$ kann sich nicht darauf verlassen $p$ Variable. Es könnte eine beliebige Funktion sein $G(q)$ des $q$ nur variabel. Der Hamiltonoperator ist also von der Form

\begin{matrix} (8) & H (Q, P) = F (Q, P) + G (Q) . \end{matrix}

$\tag{8} H(q,p)~=~F(q,p)+G(q).$

Schließlich bekommt man Einschränkungen für die $G$ Funktion durch Einstecken von Gl. (8) in Gl. (3b). Dies sollte die Frage von OP (v4) beantworten, und wir sind im Prinzip fertig.

II) Wir können jedoch nicht widerstehen, den folgenden allgemeinen Hinweis auf die Existenz einer Hamiltonschen Formulierung zu machen. Die Titelfrage von OP ist ein bisschen akademisch, wenn man a priori darauf besteht, dass die Variablen $q$ Und $p$ sollten die Rolle von kanonischen Variablen spielen. Warum sollte man darauf bestehen? Das Ziel ist schließlich nur, eine Hamiltonsche Formulierung zu erhalten, was auch immer nötig ist. Eine realistischere Frage ist also das folgende allgemeinere Problem.

Angenommen, wir haben ein zweidimensionales Problem erster Ordnung
$\begin{matrix} (9) & \dot{X} = F (X, j), \dot{j} = G (X, j), \end{matrix}$ $\tag{9} \dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y),$ Wo $f$ Und $g$ sind zwei gegebene glatte Funktionen. Ist Gl. (9) ein Hamiltonsches System $\begin{matrix} (10) & \dot{X} = {X, H}, \dot{j} = {j, H}, \end{matrix}$ $\tag{10} \dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\},$ mit symplektischer Struktur $\{\cdot,\cdot\}$ und Hamiltonian $H(x,y)$ ?

Die Antwort lautet vielleicht überraschend: Ja, immer, zumindest lokal, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Was für eine tolle Antwort! Wenn es nützlich sein könnte, wurde eine ähnliche Frage von Giné et al. ( ddd.uab.cat/pub/artpub/2011/gsduab_3020/GinLli2011_Preprint.pdf ) und von Chavarriga et al. ( ac.els-cdn.com/S002203969893621X/… )

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