Poisson-Klammern und Magnetfeld [geschlossen]

Question

Poisson-Klammern und Magnetfeld [geschlossen]

jl2

Ich bin ein Mathematikstudent, der versucht, mir etwas Physik beizubringen, also tut es mir leid, wenn ich hier etwas Einfaches vermisse. Ich denke, das Hauptproblem ist mangelnde Erfahrung mit dem Levi-Cevita-Symbol.

Wir haben ein Teilchen in einem Magnetfeld $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ , beschrieben durch den Hamiltonian (Einnahme $c=1$ ):

H = \frac{1}{2 M} (P - e A (R))^{2} = \frac{M}{2} {\dot{R}}^{2}

$\begin{equation*} H=\frac{1}{2m}(p-eA(\mathbf{r}))^2=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}^2 \end{equation*}$

Mir wurde gesagt, dass die Poisson-Klammer-Struktur lautet $\{m\dot{r}_a,m\dot{r}_b\}=e\epsilon_{abc}B_c$ , und haben versucht, dies wie folgt zu beweisen:

{M {\dot{R}}_{A}, M {\dot{R}}_{B}} = {P_{A} - e A_{A} (R), P_{B} - e A_{B} (R)} = {P_{A}, P_{B}} - e {P_{A}, A_{B} (R)} + e {P_{B}, A_{A} (R)} + e^{2} {A_{A} (R), A_{B} (R)}

$\begin{equation*} \left\lbrace m \, \dot{r}_a, m \, \dot{r}_b \right\rbrace = \left\lbrace p_a - e \, A_a(\mathbf{r}), p_b - e \, A_b(\mathbf{r}) \right\rbrace \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \left\lbrace p_a, p_b \right\rbrace - e \, \left\lbrace p_a, A_b(\mathbf{r})\right\rbrace + e \, \left\lbrace p_b, A_a(\mathbf{r}) \right\rbrace + e^2 \, \left\lbrace A_a(\mathbf{r}), A_b(\mathbf{r}) \right\rbrace \end{equation*}$

Jetzt sind der erste und der letzte Term hier Null, und das vereinfacht sich zu:

{M {\dot{R}}_{A}, M {\dot{R}}_{B}} = e \frac{\partial A_{B} (R)}{\partial R_{A}} - e \frac{\partial A_{A} (R)}{\partial R_{B}}

$\begin{equation*} \left\lbrace m \, \dot{r}_a, m \, \dot{r}_b \right\rbrace = e\frac{\partial{A_b(\mathbf{r})}}{\partial{r_a}} - e\frac{\partial{A_a(\mathbf{r})}}{\partial{r_b}} \end{equation*}$

mit der Tatsache, dass $\left\lbrace p_a, f(\mathbf{r}) \right\rbrace = -\frac{\partial f(\mathbf{r})}{\partial r_a}$ . Ich bin mir nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll, ich vermute, dass eine Art Manipulation mit dem Levi-Civita-Symbol erforderlich ist? Vielen Dank im Voraus.

Eric Winkel

Kann jemand erklären, warum das Off-Topic ist? @jl2 "fragen Sie [ed] nach einem bestimmten physikalischen Konzept" und "zeigen Sie [ed] einige Anstrengungen, um das Problem zu lösen", nein? Ich denke, er hat 90 % des Weges dorthin geschafft und brauchte nur ein paar Hinweise auf das Levi-Cevita-Symbol, wie er sagte. Ich schätze, ich hätte in meiner Antwort ein paar Schritte zu kurz stehen bleiben und ihn ausreden lassen können? Trotzdem würde sich das auf meine Antwort beziehen, nicht auf seine Frage.

jl2

Tut mir leid, das ist wirklich verwirrt. Ich verstehe nicht, dass die Frage nicht spezifisch ist oder dass ich mich nicht bemüht habe, eine Lösung zu finden? Kann ich die Antwort irgendwie zurückbekommen? Nichts in der Hilfe scheint darauf hinzudeuten, dass damit etwas nicht stimmt.

Antworten (1)

Poisson-Klammern und Magnetfeld [geschlossen]

Kann jemand erklären, warum das Off-Topic ist? @jl2 "fragen Sie [ed] nach einem bestimmten physikalischen Konzept" und "zeigen Sie [ed] einige Anstrengungen, um das Problem zu lösen", nein? Ich denke, er hat 90 % des Weges dorthin geschafft und brauchte nur ein paar Hinweise auf das Levi-Cevita-Symbol, wie er sagte. Ich schätze, ich hätte in meiner Antwort ein paar Schritte zu kurz stehen bleiben und ihn ausreden lassen können? Trotzdem würde sich das auf meine Antwort beziehen, nicht auf seine Frage.
Tut mir leid, das ist wirklich verwirrt. Ich verstehe nicht, dass die Frage nicht spezifisch ist oder dass ich mich nicht bemüht habe, eine Lösung zu finden? Kann ich die Antwort irgendwie zurückbekommen? Nichts in der Hilfe scheint darauf hinzudeuten, dass damit etwas nicht stimmt.

Eric Winkel · Answer 1

Ich werde durchgehend die Einstein-Summennotation verwenden .

Du bist fast da. Sie müssen nur verwenden

B = \nabla \times A

${\bf B} = \nabla \times {\bf A}$ oder gleichwertig,

\begin{array}{rcl} B_{k} & = & \frac{\partial}{\partial R_{ich}} A_{J} ϵ_{ich J k} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{ich}} A_{J} ϵ_{ich J k} + \frac{\partial}{\partial R_{J}} A_{ich} ϵ_{J ich k}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{ich}} A_{J} - \frac{\partial}{\partial R_{J}} A_{ich}) ϵ_{ich J k} \end{array}

$\begin{eqnarray} B_k &=& \frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j \epsilon_{i j k} + \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \epsilon_{j i k}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{i j k}\\ \end{eqnarray}$ Dort habe ich die Antisymmetrie von verwendet

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{i j k}$ unter Austausch von zwei beliebigen Indizes.

Jetzt mit der ersten Gleichung hier ,

\begin{array}{rcl} B_{k} ϵ_{k R S} & = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{ich}} A_{J} - \frac{\partial}{\partial R_{J}} A_{ich}) ϵ_{k ich J} ϵ_{k R S} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{ich}} A_{J} - \frac{\partial}{\partial R_{J}} A_{ich}) (δ_{ich R} δ_{J S} - δ_{ich S} δ_{J R}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{R}} A_{S} - \frac{\partial}{\partial R_{S}} A_{R}) - \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial R_{S}} A_{R} - \frac{\partial}{\partial R_{R}} A_{S}) \\ = & \frac{\partial}{\partial R_{R}} A_{S} - \frac{\partial}{\partial R_{S}} A_{R} \end{array}

$\begin{eqnarray} B_k \epsilon_{k r s} &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \epsilon_{k i j} \epsilon_{k r s} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_i} A_j - \frac{\partial}{\partial r_j} A_i \right) \left(\delta_{i r} \delta_{j s} - \delta_{i s} \delta_{j r}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \right) - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial r_s} A_r - \frac{\partial}{\partial r_r} A_s \right) \\ &=& \frac{\partial}{\partial r_r} A_s - \frac{\partial}{\partial r_s} A_r \end{eqnarray}$

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jl2

Eric Winkel

jl2

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Eric Winkel

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