Warum Einschränkungen zu Beginn im Hamilton-Ausdruck verwenden?

Question

Warum Einschränkungen zu Beginn im Hamilton-Ausdruck verwenden?

Ariel

Stellen Sie sich zum Beispiel die folgende Situation vor:

Ich habe ein einfaches ebenes Pendel, das aus einer Masse besteht $m$ an einer langen Schnur befestigt $\ell$ . Nachdem das Pendel in Bewegung gesetzt wurde, verkürzt sich die Länge der Saite mit einer konstanten Geschwindigkeit

\begin{matrix} (1) & \frac{D ℓ}{D T} = - a = C Ö N S T A N T \end{matrix}

$\tag{1}\frac{d\ell}{dt}=-\alpha=constant$

wie im unteren Bild gezeigt

Wenn ich dann den Hamiltonian schreiben möchte, warum kann ich dann nicht einfach seine Definition schreiben?

H = P_{θ} \dot{θ} + P_{ℓ} \dot{ℓ} - L

${\cal H} = p_\theta \dot{\theta} + p_\ell \dot{\ell} - {\cal L}$ und daran arbeiten und am Ende (1) auf meine Ergebnisse anwenden?

Ich sehe in jedem Beispiel von Hamiltonian immer, dass die "Einschränkungen" direkt zu Beginn des Prozesses angewendet werden (in der Lösung dieses speziellen Beispiels ist nach Apply (1) der Hamiltonian ${\cal H} = p_\theta \dot{\theta} - {\cal L}$ ). Warum passiert das?

QMechaniker

↑

$\uparrow$ Sehen Sie wo?

ACuriousMind

Wie beabsichtigen Sie, "(1) auf [Ihre] Ergebnisse anzuwenden"? Wenn Sie die Beschränkung nicht von Anfang an auferlegen, werden Ihre Ergebnisse ihr einfach nicht gehorchen.

Jahan Claes

Sie können dies tun, indem Sie die Saitenkraft in Ihre Lagrange-Funktion einbeziehen. Wenn Sie die Kraft der Zeichenfolge SOMEWHERE nicht einbeziehen, wissen Sie, dass Sie nicht die richtige Antwort erhalten werden. Sie können entweder explizit in ein Modell einer Saitenkraft schreiben (z. B. als Feder mit großem

k

$k$ ), oder wenden Sie von Anfang an eine Einschränkung an, die die Saitenkraft beseitigt. Aber Sie können die Einschränkung nicht beseitigen und KEINE Saitenkraft einbeziehen.

Antworten (2)

Warum Einschränkungen zu Beginn im Hamilton-Ausdruck verwenden?

Wie beabsichtigen Sie, "(1) auf [Ihre] Ergebnisse anzuwenden"? Wenn Sie die Beschränkung nicht von Anfang an auferlegen, werden Ihre Ergebnisse ihr einfach nicht gehorchen.
Sie können dies tun, indem Sie die Saitenkraft in Ihre Lagrange-Funktion einbeziehen. Wenn Sie die Kraft der Zeichenfolge SOMEWHERE nicht einbeziehen, wissen Sie, dass Sie nicht die richtige Antwort erhalten werden. Sie können entweder explizit in ein Modell einer Saitenkraft schreiben (z. B. als Feder mit großem $k$ ), oder wenden Sie von Anfang an eine Einschränkung an, die die Saitenkraft beseitigt. Aber Sie können die Einschränkung nicht beseitigen und KEINE Saitenkraft einbeziehen.

QMechaniker · Answer 1

TL;DR: OP hat Recht: Es gibt mehrere gleichwertige Möglichkeiten, eine Hamiltonsche Formulierung zu konstruieren, einige wenden die Einschränkungen am Anfang an, andere zu einem späteren Zeitpunkt.

Lassen Sie uns im Folgenden veranschaulichen, wie sich dies im Beispiel von OP auswirkt:

Wir beginnen mit einem System mit Lagrange
$L_{1} := L_{0} + λ χ_{1}, L_{0} := T - v,$ $L_1~:=~L_0 + \lambda \chi_1, \qquad L_0~:=T-V,$ $\begin{matrix} (A) & T := \frac{M}{2} ({\dot{ℓ}}^{2} + ℓ^{2} {\dot{θ}}^{2}), v := - M G ℓ \cos θ, \end{matrix}$ $T ~:=~\frac{m}{2}(\dot{\ell}^2+\ell^2\dot{\theta}^2), \qquad V~:=~-mg\ell\cos\theta, \tag{A}$ mit Lagrange-Multiplikator $\lambda$ und holonome Einschränkung $\begin{matrix} (B) & χ_{1} := ℓ - ℓ_{0} + a T \approx 0. \end{matrix}$ $\chi_1~:=~\ell-\ell_0+\alpha t~\approx~0. \tag{B}$ Beachten Sie die Einschränkung $\chi_1$ (und damit die Lagrange-Funktion $L_1$ ) tragen eine explizite Zeitabhängigkeit. Die Lagrange-Impulse lasen $\begin{matrix} (C) & P_{ℓ} := \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{ℓ}} = M \dot{ℓ}, P_{θ} := \frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{θ}} = M ℓ^{2} \dot{θ} . \end{matrix}$ $p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_1}{\partial \dot{\theta}} ~=~m\ell^2\dot{\theta}.\tag{C}$ Führen Sie als nächstes die Dirac-Bergmann-Analyse durch. Der bloße Hamiltonianer liest $\begin{matrix} (D) & H_{0} := \frac{P_{ℓ}^{2}}{2 M} + \frac{P_{θ}^{2}}{2 M ℓ^{2}} . \end{matrix}$ $H_0~:=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2}. \tag{D}$ Interessanterweise gibt es eine sekundäre Einschränkung $\begin{matrix} (E) & 0 \approx \frac{D χ_{1}}{D T} \approx {χ_{1}, H_{0}} + \frac{\partial χ_{1}}{\partial T} = \frac{P_{ℓ}}{M} + a . \end{matrix}$ $0~\approx~\frac{d\chi_1}{dt}~\approx~\{\chi_1, H_0\} + \frac{\partial\chi_1}{\partial t}~=~\frac{p_{\ell}}{m}+\alpha .\tag{E}$ Am Ende wird der entsprechende Hamiltonoperator $\begin{matrix} (F) & H_{1} = \frac{P_{ℓ}^{2}}{2 M} + \frac{P_{θ}^{2}}{2 M ℓ^{2}} + v - λ χ_{1} - λ^{'} (\frac{P_{ℓ}}{M} + a) . \end{matrix}$ $H_1~=~\frac{p_{\ell}^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \chi_1-\lambda^{\prime} \left( \frac{p_{\ell}}{m}+\alpha\right) \tag{F}.$ Man kann die Beschränkungen in Gl. (F).
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Beschränkung aufzuheben $\chi_1$ und die Radialkoordinate $\ell$ von Anfang an:
$\begin{matrix} (G) & L_{2} := \frac{M}{2} (ℓ_{0} - a T)^{2} {\dot{θ}}^{2} + M G (ℓ_{0} - a T) \cos θ, \end{matrix}$ $L_2~:=~\frac{m}{2}(\ell_0-\alpha t)^2 \dot{\theta}^2+mg(\ell_0-\alpha t)\cos\theta, \tag{G}$ und führen Sie dann die Legendre-Transformation durch.
Eine dritte Möglichkeit besteht darin, die holonome Beschränkung umzuschreiben $\chi_1$ als semiholonome Einschränkung
$\begin{matrix} (H) & χ_{3} := \dot{ℓ} + a \approx 0. \end{matrix}$ $\chi_3~:=~\dot{\ell}+\alpha~\approx~0. \tag{H}$ Dann liest die Lagrange-Funktion $\begin{matrix} (ICH) & L_{3} := L_{0} + λ χ_{3} . \end{matrix}$ $L_3~:=~L_0 + \lambda \chi_3.\tag{I}$ Die Lagrange-Impulse lasen $\begin{matrix} (J) & P_{ℓ} := \frac{\partial L_{3}}{\partial \dot{ℓ}} = M \dot{ℓ} + λ, P_{θ} := \frac{\partial L_{3}}{\partial \dot{θ}} = M ℓ^{2} \dot{θ} . \end{matrix}$ $p_{\ell}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\ell}}~=~m\dot{\ell}+\lambda, \qquad p_{\theta}~:=~\frac{\partial L_3}{\partial \dot{\theta}}~=~m\ell^2\dot{\theta}. \tag{J}$ Am Ende wird der entsprechende Hamiltonoperator $\begin{matrix} (K) & H_{3} = \frac{(P_{ℓ} - λ)^{2}}{2 M} + \frac{P_{θ}^{2}}{2 M ℓ^{2}} + v - λ a . \end{matrix}$ $H_3~=~\frac{(p_{\ell}-\lambda)^2}{2m} + \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -\lambda \alpha \tag{K}.$
Interessanterweise der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ geht quadratisch in Gl. (K). Es kann integriert werden. Der resultierende Hamilton-Operator wird (nach Verwerfen konstanter Terme)
$\begin{matrix} (L) & H_{4} = \frac{P_{θ}^{2}}{2 M ℓ^{2}} + v - P_{ℓ} a . \end{matrix}$ $H_4~=~ \frac{p_{\theta}^2}{2m\ell^2} +V -p_{\ell} \alpha .\tag{L}$

Alle oben genannten Ansätze führen zum gleichen Kernsystem von EOMs:

\begin{matrix} (M) & {\dot{P}}_{θ} \approx - \frac{\partial v}{\partial θ}, P_{θ} \approx M ℓ^{2} \dot{θ}, \dot{ℓ} + a \approx 0. \end{matrix}

$\dot{p}_{\theta}~\approx~-\frac{\partial V}{\partial \theta}, \qquad p_{\theta}~\approx~~m\ell^2\dot{\theta}, \qquad \dot{\ell}+\alpha~\approx~0.\tag{M}$

Dirakologie · Answer 2

Du kannst nicht einfach schreiben

H = P_{θ} \dot{θ} + P_{l} \dot{l} - L,

${H} = p_\theta \dot{\theta} + p_l \dot{l} - { L},$ Weil

l

$l$ entspricht keinem Freiheitsgrad des Systems, da sich diese Größe nicht frei ändern kann. Sie werden nicht erhalten

l (t)

$l(t)$ durch Minimieren der Aktion ist sie bereits durch die rheonomische Beschränkung festgelegt

d l / d t = - α

$dl/dt=-\alpha$ . Mit anderen Worten,

l

$l$ ist keine Koordinate des Phasenraums und es gibt keine

p_{l}

$p_l$ .

Was Sie tun sollen, ist, den Lagrangian für das System mit einem Freiheitsgrad zu schreiben,

L = \frac{M}{2} (l^{2} {\dot{θ}}^{2} + a^{2}),

$L=\frac{m}{2}(l^2\dot\theta^2+\alpha^2),$ und dann der Hamiltonian,

H = P_{θ} \dot{θ} - L .

$H=p_\theta\dot\theta-L.$

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