Primäre Einschränkungen für Hamiltonsche Feldtheorien

Ich versuche derzeit, die Konstruktion des verallgemeinerten Hamilton-Operators, Zwangsbedingungen und Zwangsalgebra usw. für eine bestimmte Feldtheorie nach dem Verfahren in Diracs "Vorlesungen über Quantenmechanik" durchzuführen. Meine Frage ist folgende:

Ich habe Impulsvariablen, die von den räumlichen Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten abhängen, aber nicht von den zeitlichen Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten. Ist dies eine primäre Einschränkung oder nicht?

Ich habe dazu widersprüchliche Gedanken. Einerseits gibt es Texte, die besagen, dass eine primäre Nebenbedingung auftritt, wenn die Definition einer Impulsvariablen für die entsprechende Geschwindigkeit nicht invertierbar ist. Nach diesem Kriterium habe ich eine primäre Einschränkung, da der Impuls nicht von der zeitlichen Ableitung der verallgemeinerten Koordinaten abhängt.

Andererseits sagt Dirac zum Beispiel, dass eine primäre Beschränkung eine Funktion der Form ist

χ ( P , Q ) = 0

das kommt von der Definition der Impulse. Dies ist bei mir nicht der Fall, da ich eine Funktion habe, die auch von den räumlichen Ableitungen der q's abhängt. Nach diesen Kriterien habe ich keine primäre Einschränkung.

Jede Hilfe sehr geschätzt.

Antworten (1)

Bei der Betrachtung des Hamiltonschen Formalismus ist es wichtig, zwischen den folgenden zwei Frameworks zu unterscheiden:

  1. Punktmechanik (PM). Variablen 1 : Q ich ( T ) Und P J ( T ) . Der Hamiltonian H hängt von folgenden Argumenten ab:

    (1) H ( Q ( T ) ; P ( T ) ; T ) .

  2. Feldtheorie (FT) in D + 1 Dimensionen der Raumzeit. Variablen 1 : ϕ a ( X , T ) Und π β ( X , T ) . Die Hamiltonsche Dichte H hängt von folgenden Argumenten ab:

    H ( ϕ ( X , T ) , ∂ ϕ ( X , T ) , ∂ 2 ϕ ( X , T ) , … , ∂ N ϕ ( X , T ) ;
    (2) π ( X , T ) , ∂ π ( X , T ) , ∂ 2 π ( X , T ) , … , ∂ N π ( X , T ) ; X , T ) .
    Wo ∂ bezeichnet die räumliche (im Gegensatz zur zeitlichen) Ableitung. Hier N für eine lokale FT endlich ist, und N ≤ 1 für eine relativistische FT.

PM ist die D = 0 Fall von FT; während FT als PM angesehen werden kann, wenn wir räumliche Koordinaten als fortlaufenden Index behandeln ich = ( a , X ) , vgl. DeWitts komprimierte Notation .

FT hat immer unendlich viele Freiheitsgrade (DOF), während PM endlich oder unendlich viele Freiheitsgrade haben könnte.

Bei der Legendre-Transformation/Dirac-Bergmann-Prozedur für FT haben die räumlichen Ableitungen (anders als die zeitlichen Ableitungen) keinen besonderen Status/Rolle. Entsprechend sind die räumlichen Ableitungen passive Zuschauer.

In FT wird die Definition der primären Beschränkungen ohne Modifikation aus dem PM-Fall übernommen. Insbesondere ändert das Vorhandensein von räumlichen Ableitungen nicht den Status einer Gleichung als Einschränkung oder nicht.

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1 Beachten Sie, dass im Fall von Einschränkungen die Variablen (neben dynamischen Variablen) auch Hilfsvariablen enthalten.

Also, unter Verwendung Ihrer Notation, im Fall der Feldtheorie, wenn ich einen Impuls von gegeben hätte π = ∂ ϕ , wäre das eine primäre Einschränkung? Ich neige dazu, mit nein zu antworten, weil mir scheint, dass dies einfach die Variable bestimmt ∂ ϕ bezüglich π , und verringert nicht die Anzahl der unabhängigen Variablen im Phasenraum.
Wenn mein Beispiel tatsächlich eine primäre Einschränkung ist, wie geht man dann vor, um es aufzuerlegen? Die primären Zwangsbedingungen sollten jedoch eine Zwangsoberfläche im Phasenraum definieren π − ∂ ϕ = 0 tut das nicht.
@Steven: Ja zB das Modell L = ϕ ˙ ∂ ϕ führt zur primären Einschränkung π = ∂ ϕ . Welche FT meinst du? Was ist die Lagrange-Dichte L ?
Die Theorie, mit der ich mich tatsächlich beschäftige, ist in Abschnitt 2 des folgenden Artikels zu finden: arxiv.org/abs/1309.1660 . Ich arbeite mit der vierdimensionalen Version dieser Theorie (bei Dimensionen sieht es qualitativ anders aus ≤ 3). Es ist eine „reine Eichtheorie“, die der Form der Allgemeinen Relativitätstheorie erster Ordnung entspricht. Der Impuls konjugiert zum ϕ und der räumliche Teil von ω (Spin-Verbindung) Variablen beinhalten räumliche Ableitungen von ϕ Und ω , hängen aber nicht von den entsprechenden Geschwindigkeiten ab.
Um Ihnen etwas Zeit zu sparen, konjugieren Sie das Momentum ϕ A zum Beispiel ist gegeben durch π A = 2 ( D J ϕ ) B F k l C D ϵ A B C D ϵ J k l . Die Indizes ich , J , k = 1 , 2 , 3 sind "Raumzeit"-Indizes, die darauf beschränkt sind, über den Raumteil zu laufen. D ist die kovariante Ableitung für die Eichgruppe, die ist ICH S Ö ( 4 ) , F der Feldstärketensor und die Indizes A , B , C , D . . . = 1 , 2 , 3 , 4 sind in einer besonderen Darstellung der vierdimensionalen euklidischen Gruppe ICH S Ö ( 4 ) .
Je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr denke ich, dass Momente dieser Form nicht zu primären Einschränkungen führen. Beispielsweise ergibt die Durchführung der Constraint-Analyse unter Verwendung des Faddeev-Jackiw-Ansatzes ( pdf ) diese nicht als primäre Constraints. Und wenn Sie versuchen, sie so zu behandeln, als ob sie es wären, führt das meines Erachtens zu Inkonsistenzen. Schließlich sind sie nach Diracs Definition in den "Vorlesungen über Quantenmechanik" keine Einschränkungen, weil sie keine Funktionen der Form sind χ ( Q , P ) = 0 .
Daher denke ich, dass die Antwort geändert werden sollte; die Definition der primären Beschränkung wird tatsächlich unverändert auf den Fall der Feldtheorie übertragen, solange diese Definition als "eine Funktion der Form" angenommen wird χ ( Q , P ) = 0 das ergibt sich aus der Definition der Impulse". Insbesondere eine Funktion der Form χ ( Q , P , ∂ Q ) = 0 Ist N Ö T eine Einschränkung.
@Steven: Bitte geben Sie auch explizit die Aktions- / Lagrange-Dichte an, um sicherzustellen, dass wir über dasselbe Modell sprechen. Ich denke, es ist ein (3 + 1) D Pagels-Modell mit ICH S Ö ( 4 ) Gauge-Gruppe innen verpackt S Ö ( 5 ) mit fester Vorzugsspurrichtung?
Die 4. Aktion ist ∫ ( D ϕ ) A ∧ ( D ϕ ) B ∧ F C D ϵ A B C D E ϕ E . Die Gauge-Gruppe kann als angenommen werden S Ö ( 5 ) oder ICH S Ö ( 4 ) (Die Form der Aktion ist die gleiche). Der Unterschied besteht darin, dass die kosmologische Konstante ist 0 für ICH S Ö ( 4 ) und ungleich Null für S Ö ( 5 ) .
Korrektur der Antwort (v3): Die letzte N in Gleichung (2) sein sollte N − 1 .
Was ist, wenn wir eine Funktion haben? χ ( P , Q ich ) = 0 eines einzigen Impulses P und Koordinaten Q ich die nicht konjugiert sind P , was aus der Definition des Impulses stammt P . Ändert das den Status der Funktion als primäre Einschränkung?
Primäre Einschränkungen für Hamiltonsche Feldtheorien
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