Konstruieren von Lagrangian aus Hamiltonian für Majorana-Fermionen

Question

Konstruieren von Lagrangian aus Hamiltonian für Majorana-Fermionen

Physik
Feldtheorie
Majorana-Fermionen
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Hamiltonscher Formalismus

Kartik Chhajed

Der Text gibt die Hamiltonsche Dichte als an

H = \frac{v}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}) + Δ Ψ^{†} Ψ

$\begin{equation}{\cal H}=\frac{v}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)+\Delta\Psi^\dagger\Psi \end{equation}$

und die Langrangsche Dichte als

L = ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial τ} + \frac{v}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X} - ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}) + Δ Ψ^{†} Ψ

$\begin{equation}{\cal L}=\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial \tau}+\frac{v}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)+\Delta\Psi^\dagger\Psi \end{equation}$

Der Text sagt auch, dass das Feld mit Majorana-Fermion verwandt ist, wenn $\Delta=0$ dessen Langrangsche Dichte (aus einem anderen Text) ist

L_{M} = \frac{1}{2} (ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial X^{0}} - ψ^{†} \frac{\partial ψ}{\partial X^{1}} + ψ \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X^{0}} + ψ \frac{\partial ψ^{†}}{\partial X^{1}})

$\begin{equation}{\cal L_M}=\frac{1}{2}\Big(\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial x^0}-\psi^\dagger\frac{\partial\psi}{\partial x^1}+\psi\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x^0}+\psi\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial x^1}\Big)\end{equation}$ Wenn ich über die Ableitung der Langrangschen Dichte aus der Hamiltonschen Verwendung gehe

L = Π \dot{Φ} - H

${\cal L}=\Pi\dot\Phi-\cal H$ (indem

Π = Ψ^{†}

$\Pi=\Psi^\dagger$ , von dem ich nicht sicher bin, ob ich es richtig mache), erhalte ich die Lagrange-Dichte als

L_{falsch} = \frac{v}{2} ψ \frac{\partial ψ}{\partial X}

${\cal L}_{\text{wrong}}=\frac{v}{2}\psi\frac{\partial\psi}{\partial x}$

Wie sind alle Lagrange verwandt?
Wo mache ich einen Fehler, wenn ich Langrangian von Hamiltonian finde?

Genauer

Wie $\cal L_M = L$ ?
Was soll mein sein $\Pi$ In ${\cal L}=\Pi\dot\Phi-\cal H$ ?

Verweise:

(Text1: http://edu.itp.phys.ethz.ch/fs13/cft/SM2_Molignini.pdf ) (Seite: 28-29)

(Text2: Einführung in die konforme Feldtheorie, R Blumenhagen und E Plauschinn) (Seite: 56-57)

QMechaniker

Verwandter Beitrag von OP: physical.stackexchange.com/q/538770/2451

QMechaniker

Kleiner Kommentar (v4): Langrangian sollte Lagrangeian sein.

Kartik Chhajed

Okay. Ich werde das berichtigen.

Antworten (1)

Konstruieren von Lagrangian aus Hamiltonian für Majorana-Fermionen

Verwandter Beitrag von OP: physical.stackexchange.com/q/538770/2451
Kleiner Kommentar (v4): Langrangian sollte Lagrangeian sein.

Kartik Chhajed · Answer 1

Wer im Bereich Cond. matt. phy. muss bereits erkannt haben, dass der Hamiltonoperator Majorna Fermions ist. [ https://arxiv.org/abs/cond-mat/0010440]

Für Feldtheoretiker begegnen wir dem anders. In CFT ist die Lagrangedichte für die Majorana-Fermionen (Fermionen, deren Antiteilchen das Teilchen selbst ist).

L_{M} = \frac{1}{2} \bar{Ψ} (\dot{ι} Γ^{μ} \partial_{μ} - M) Ψ

${\cal L_M}=\frac{1}{2}\bar\Psi (\dot\iota\Gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi$ Wo

Ψ = (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

$\Psi=\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$ Wir können den Hamiltonoperator konstruieren als

H = Π \dot{Ψ} - L

${\cal H}=\Pi\dot\Psi-{\cal L}$ Feld konjugieren

Π

$\Pi$ Ist

Π = \frac{\partial L}{\partial \dot{Ψ}} = \frac{\dot{ι}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0}

$\Pi=\frac{\partial\cal L}{\partial\dot\Psi}=\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi\Gamma^0$ Und der Hamiltonian ist

H = \frac{\dot{ι}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0} \dot{Ψ} - \frac{\dot{ι}}{2} \bar{Ψ} Γ^{0} \partial_{0} Ψ - \frac{\dot{ι}}{2} \bar{Ψ} Γ^{1} \partial_{1} Ψ + \frac{1}{2} M \bar{Ψ} Ψ

${\cal H}=\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi\Gamma^0\dot\Psi-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^0\partial_0\Psi-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^1\partial_1\Psi+\frac{1}{2}m\bar\Psi\Psi$

H = - \frac{\dot{ι}}{2} \bar{Ψ} Γ^{1} \partial_{1} Ψ + \frac{1}{2} M \bar{Ψ} Ψ

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\bar\Psi \Gamma^1\partial_1\Psi+\frac{1}{2}m\bar\Psi\Psi$

H = - \frac{\dot{ι}}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \partial_{1} (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix}) + \frac{M}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\partial_1\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}+\frac{m}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$

H = - \frac{\dot{ι}}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & - ψ \end{matrix}) \partial_{1} (\begin{matrix} ψ^{†} \\ ψ \end{matrix}) + \frac{M}{2} (\begin{matrix} ψ^{†} & - ψ \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ \\ ψ^{†} \end{matrix})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &-\psi\end{pmatrix}\partial_1\begin{pmatrix}\psi^\dagger\\ \psi\end{pmatrix}+\frac{m}{2}\begin{pmatrix}\psi^\dagger &-\psi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi\\ \psi^\dagger\end{pmatrix}$

H = - \frac{\dot{ι}}{2} (ψ^{†} \partial_{1} ψ^{†} - ψ \partial_{1} ψ) + \frac{M}{2} (ψ^{†} ψ - ψ ψ^{†})

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}(\psi^\dagger\partial_1\psi^\dagger-\psi\partial_1\psi)+\frac{m}{2}(\psi^\dagger\psi-\psi\psi^\dagger)$ Unter Verwendung der Antikommutierungsbeziehung von Fermion erhalten wir

H = - \frac{\dot{ι}}{2} (ψ^{†} \partial_{1} ψ^{†} - ψ \partial_{1} ψ) + M ψ^{†} ψ

${\cal H}=-\frac{\dot\iota}{2}(\psi^\dagger\partial_1\psi^\dagger-\psi\partial_1\psi)+m\psi^\dagger\psi$ Nun zur Beantwortung Ihrer Frage

Wir haben die Beziehung im Hamilton-Operator gezeigt, der von cond verwendet wird. Matte. phy. Menschen und Feldtheoretiker. Majorana Fermion Hamiltonian verwendet in cond. Matte. phy. kann aus Majorana-Fermion-Lagrangeian konstruiert werden, das von der Feldtheorie verwendet wird.
Ich habe Legendre Verwandlung von gezeigt $\cal L\mapsto H$ , ich bin sicher, Sie können das Gegenteil tun.

Probleme bei deiner Frage:

Lagrange, den Sie in Gleichung (2) geschrieben haben, ist völlig falsch.

Das Problem, an dem Sie arbeiten müssen

Das $\frac{\dot\iota}{2}$ Faktor der Legendre Transformation und $\frac{v}{2}$ Faktor im Hamiltonoperator von cond. Matte. phy.

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