Wie überprüft man die konforme Invarianz einer Lagrange-Funktion?

Die Aktion im zweidimensionalen Minkowski-Raum ist

$$S=\int dx^0dx^1(-\dot\iota)\bar\Psi\Gamma^\mu\partial_\mu\Psi$$ Wo $$\Psi=\begin{pmatrix}\Phi\\ \Phi^\dagger\end{pmatrix}$$ Wir können Wicks Rotation ausführen$x^0\mapsto\dot\iota x^0$unter der partielle Ableitung transformiert als$\partial_1\to\dot\iota\partial_1$. Das ist dasselbe wie wählen$\Gamma$-Matrizen $$\Gamma^1=\begin{pmatrix}0&-\dot\iota\\ \dot\iota&0\end{pmatrix}$$ und zusätzlich$\dot\iota$Faktor in der Integration oben. Wir können schreiben $$\begin{align}\Gamma^0\Gamma^\mu\partial_\mu&=\Gamma^0(\Gamma^0\partial_0+\Gamma^1\partial_1)\\ &=\begin{pmatrix}\partial_0+\dot\iota\partial_1&0\\ 0&\partial_0-\dot\iota\partial_1\end{pmatrix}\\ &=2\begin{pmatrix}\partial_{\bar z}&0\\ 0&\partial_z\end{pmatrix}\end{align}$$ Die Aktion nach Berechnung der Jacobi-Transformation ist $$\begin{align}S&=\int dzd\bar z\bar\Psi\begin{pmatrix}\partial_{\bar z}&0\\ 0&\partial_z\end{pmatrix}\Psi\\ &=\int dzd\bar z(\Phi\bar\partial\Phi+\bar\Phi\partial\bar\Phi)\end{align}$$ Das erste ist, das zu erkennen$\Phi$ist ein chirales Feld, dazu leiten wir die Bewegungsgleichung ab, indem wir die Wirkung in Bezug auf die Felder variieren$\Phi$Und$\Phi^\dagger$ $$\begin{align}0=\delta_\Phi S&=\int d^2z\big(\delta\Phi\bar\partial\Phi+\Phi\bar\partial(\delta\Phi)\big)\\ &=\int d^2z\big(\delta\Phi\bar\partial\Phi+\bar\partial(\Phi\delta\Phi)-(\bar\partial\Phi)\delta\Phi\big)\\ &=2\int d^2z\delta\Phi\bar\partial\Phi\end{align}$$ Da die Gleichung für alle Variationen wahr sein muss$\delta\Phi$, finden wir die Bewegungsgleichung $$\bar\partial\Phi=0$$ Ebenso durch Variieren des Feldes$\delta\Phi^\dagger$, wir finden $$\partial\Phi^\dagger=0$$ was bedeutet$\Phi=\Phi(z)$ist Primärfeld und$\Phi^\dagger=\Phi^\dagger(\bar z)$ist ein antichirales Feld. Als nächstes werden wir sehen, dass Aktion unter konformer Transformation des Feldes invariant ist$\Phi$Und$\Phi$sind primäre Felder mit konformen Abmessungen$(h,\bar h)=(\frac{1}{2},0)$, Und$(h,\bar h)=(0,\frac{1}{2})$bzw. $$\begin{align}S\to &\int dzd\bar z\Big(\Phi'(z,\bar z)\partial_{\bar z}\Phi'(z,\bar z)+\bar\Phi'(z,\bar z)\partial_{z}\bar\Phi'(z,\bar z)\Big)\\ =&\int\frac{\partial z}{\partial w}dw\frac{\partial\bar z}{\partial\bar w}d\bar w\Big(\big(\frac{\partial w}{\partial z}\big)^{\frac{1}{2}}\Phi(w,\bar w)\frac{\partial \bar w}{\partial \bar z}\partial_{\bar w}\big(\frac{\partial w}{\partial z}\big)^{\frac{1}{2}}\Phi(w,\bar w)\\ &+\big(\frac{\partial\bar w}{\partial\bar z}\big)^{\frac{1}{2}}\bar\Phi(w,\bar w)\frac{\partial w}{\partial z}\partial_{w}\big(\frac{\partial\bar w}{\partial\bar z}\big)^{\frac{1}{2}}\bar\Phi(w,\bar w)\Big)\\ =&\int dwd\bar w \Big(\Phi(w,\bar w)\partial_{\bar w}\Phi(w,\bar w)+\bar\Phi(w,\bar w)\partial_{w}\bar\Phi(w,\bar w)\Big)\end{align}$$

Dies zeigt, dass Aktion unter konformer Transformation if tatsächlich invariant ist$\Phi$Und$\Phi^\dagger$sind primäre Dimensionen$\frac{1}{2}$.

Zweifel, die noch bestehen : Wir haben gezeigt, dass die Wirkung unter konformer Transformation if invariant ist$\Phi$Und$\Phi^\dagger$sind primäre Dimensionen$\frac{1}{2}$. Aber woher wissen wir, dass die konforme Dimension ist$\frac{1}{2}$?

(Quelle: Introduction to Conformal Field Theory von R Blumenhagen und E Plauschinn)