Bewegungsgleichung für nichtlineares chirales Sigma-Modell

Sie könnten Schlimmeres tun, als die Arbeiten von Gürsey 1960-1 zu studieren, in denen er diese chiralen Modelle (in 4D) entdeckt. Ohne den verräterischen topologischen Begriff ist das, was Sie schreiben, noch nicht das WZW-Modell : Es ist das einfache chirale Modell.

Jedenfalls hast du richtig angefangen, aber deine Rechnung nicht zu Ende geführt. Teilenweises Integrieren innerhalb des Integrals, Zyklieren innerhalb der Spur und Verwenden der Identität für die Variation und Ableitung der Umkehrung (und ihre ungeheure Konsequenz$\partial g^{-1} \partial g=g^{-1}\partial g \partial g^{-1} g$im letzten Schritt), erhalten Sie

$$\int \delta \text{ Tr}(\partial_\mu g^{-1}\partial^\mu g) = \text{Tr}[\partial_\mu \delta g^{-1}\partial^\mu g + \partial_\mu g^{-1}\partial^\mu \delta g ~] \\ = \int \text{Tr}[-\partial_\mu(g^{-1}\delta g g^{-1})\partial^\mu g -(\partial^\mu \partial_\mu g^{-1}) ~ \delta g] \\ = \int\text{Tr}[-\partial_\mu (g^{-1}\delta g)~ g^{-1}\partial^\mu g -g^{-1} \delta g ~ \partial_\mu g^{-1} \partial^\mu g + \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g~ g^{-})~ \delta g] \\ = \int\text{Tr}[ g^{-1}\delta g~ \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g) -g^{-1} \delta g ~ \partial_\mu g^{-1} \partial^\mu g + \partial_\mu (g^{-1}\partial^\mu g)~ g^{-} \delta g+ (g^{-1}\partial^\mu g) \partial_\mu g^{-} ~ g g^{-1}\delta g ] \\ = 2 \int \text{Tr}[g^{-1}\delta g ~~\partial_\mu(g^{-1}\partial^\mu g )] ~.$$ Im letzten Schritt hebt der zweite Term den vierten auf.

Dies sind Standardmanöver für chirale Modelle und in einem sehr begrenzten Bereich: Es gibt nicht so viele. Sie sind natürlich nicht unabhängig von (15.9), aber wenn Sie ihr folgen und es Ihnen nicht hilft, schlagen Sie hier einfach die obige formale Kaskade durch.

Und ja, es gibt einen besseren Weg: Profis nutzen normalerweise Strömungen,$j^\mu=g^{-1} \partial^\mu g$, sodass die Aktion die transparente Sugawara-Form annimmt,

$$4a^2~S=-\int \text{Tr}[j^\mu j_\mu] \qquad \Longrightarrow 4a^2~\delta S=-2\int \text{Tr}[j^\mu \delta j_\mu] .$$

Nun, da$\delta j_\mu= g^{-1}\partial_\mu \delta g -g^{-1}\delta g ~j_\mu$, hat man einfach

$$4a^2~\delta S= 2\int \text{Tr}[ g^{-1}\delta g ~j_\mu j^\mu +\partial_\mu(j^\mu g^{-1})\delta g ]\\ = 2\int \text{Tr}[ g^{-1}\delta g ~j_\mu j^\mu -j_\mu j^\mu ~g^{-1}\delta g +\partial_\mu(j^\mu ) ~ g^{-1}\delta g ]= 2\int \text{Tr}[g^{-1}\delta g ~\partial_\mu(j^\mu )].$$

Bei der Einführung zB eines in 7D eingebetteten WZW-Begriffs könnte diese Sprache durchaus den Verstand verschonen.