Satz von Noether in der Feldtheorie: Jacobi-Faktor

Nach meiner früheren Frage in diesem Phys.SE- Beitrag habe ich eine weitere Frage zur Herleitung , durch die ich mich quäle!

Unter Berücksichtigung der Variation in der Lagrange-Dichte für$x'=x+\delta x$Und$\phi'(x')=\phi(x)+\delta \phi (x)$.

$$\begin{equation} \mathcal L'(x')=\mathcal L'(x) +\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i=\mathcal L(x)+\underbrace{\mathcal L'(x)-\mathcal L (x)}_{\bar \delta \mathcal L(x)}+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i \end{equation}$$ So dass die Variation in der Aktion gegeben ist durch, $$\begin{equation} \delta S=\int [\mathcal L(x)+\bar \delta \mathcal L(x)+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i ]dx'-\int \mathcal L(x) dx \end{equation}$$
Wie erhalten wir dann das Folgende, $$\begin{equation} \delta S=\int \big[\bar \delta \mathcal L(x)+\frac{d }{d x^i}(\mathcal L\delta x^i)\big]dx \end{equation}$$

Ich verstehe, dass es mit dem Jacobi der Transformation zu tun hat, der wir uns annähern

$$dx'=dx(1+\partial _i\delta x^i+\dots ),$$ aber wie folgt das und was genau bedeutet das (nochmals sorry, wenn es offensichtlich ist).