Wie leitet man den erhaltenen Strom der Klein-Gordon-Gleichung ab?

Betrachten Sie die KG-Gleichung für ein komplexes Skalarfeld$\phi(x) \in \mathbb{C}$

$$\tag{1} ( \square + m^2 ) \phi(x) = 0,$$ und sein komplexes Konjugat $$\tag{2} ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Multiplizieren links (1) mit $\phi^*(x)$und (2) durch $\phi(x)$Sie haben bzw $$\tag{3} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) = 0$$ Und $$\tag{4} \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0.$$ Wenn Sie jetzt (4) von (3) abziehen , haben Sie $$\tag{5} \phi^*(x) (\square + m^2 ) \phi(x) - \phi(x) ( \square + m^2 ) \phi^*(x) = 0$$ $$\tag{5-1} \Longrightarrow (\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^*) + m^2 (\phi^*\phi - \phi \phi^*) = 0$$ wobei wir im letzten Schritt die Tatsache verwendet haben, dass $m \in \mathbb{R}$und daher $\phi(x) m = m \phi(x)$(und weggelassen $x$Argument für Faulheit).

Denn auch$\phi(x), \phi^*(x) \in \mathbb{C}$, dh es sind nur komplexe Zahlen (im Gegensatz zu Operatorfeldern in QFT), die Sie haben$\phi(x)\phi^*(x)=\phi^*(x)\phi(x)$und daher das Fazit:

$$\phi^* \square \phi - \phi \square \phi^* = 0 \Longleftrightarrow \partial_\mu ( \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) - \phi(x) \partial^\mu \phi^*(x) ) = 0,$$ dh $$\partial_\mu J^\mu(x) = 0, \qquad J^\mu(x) \equiv \phi^*(x)\partial^\mu\phi(x) - \phi(x)\partial^\mu \phi^*(x).$$

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Hinweis: Ich verwende die Notation

$$\square \equiv \partial^2 \equiv \partial_\mu \partial^\mu,$$ und mein $\phi(x)$ist dein $\psi(x)$.