Ladung in Skalar-QED nicht erhalten? [Duplikat]

Da die Ladungserhaltung ein bekanntes Konzept zu sein scheint, hoffe ich, dass ich etwas übersehe und dass die Schlussfolgerung falsch ist. Dies konnte ich jedoch nicht widerlegen. Lassen Sie mich die Situation wie folgt skizzieren.

Überblick

Betrachten Sie die folgende Lagrange-Funktion für skalare QED und Feld$\varphi$:

$$\begin{align} \mathcal{L}=\overline{D_\mu\varphi}D^\mu\varphi-U(|\varphi|^2)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{1} \end{align}$$ Wo $$D_\mu=\partial_\mu-iA_\mu\varphi.\tag{2}$$

Ein Satz von Euler-Lagrange-Gleichungen lautet:

$$\begin{align} \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta A_\mu}=i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2+\partial_\nu F^{\mu\nu}=0.\tag{3} \end{align}$$

Betrachten wir die globale Eichsymmetrietransformation$\varphi\to\varphi+i\epsilon\varphi$, dann ergibt Noethers erster Satz das folgende Erhaltungsgesetz (zur Ladung siehe zB [1] ) für Lösungen von$\delta\mathcal{S}=0$:

$$\begin{align} \partial_\mu j^\mu:=\partial_\mu\left[i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2\right]=0.\tag{4} \end{align}$$

Frage: funktioniert das Integral der Ladungsdichte$j^0$identisch verschwinden? Wenn ja, bedeutet dies, dass nichts konserviert wird?

Mein Antwortversuch: Ja. Um dies zu sehen, integrieren wir die Kontinuitätsgleichung über$\mathbb{R}^3$und wende den Satz von Gauß an:

$$\begin{align} \partial_0Q:=\partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=-\sum_{\mu=1}^3\int_{R^2} j^\mu \bigr\rvert_{|x_\mu|\to\infty}d^2x.\tag{5} \end{align}$$ Hier sagen wir das $Q=\int j^0$ist die Gesamtladung.

Wir gehen davon aus, dass die Felder$\varphi$Und$F$verschwinden als$\max_{\mu\ge 1}(x_\mu)\to\infty$. Dies ist eine natürliche Randbedingung für physikalische Observablen. Dann die Flussmittel$j^\mu$verschwinden eindeutig in dieser Grenze. Somit wird unser Erhaltungssatz zu:

$$\begin{align} \partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=0.\tag{6} \end{align}$$ Aber $$j^0=\delta\mathcal{L}/\delta A_0-\partial_\nu F^{0\nu}=-\partial_\nu F^{0\nu}\tag{7}$$ auf Lösungen, so dass wir das Ladungsintegral mit dem Satz von Gauß wie folgt äquivalent umschreiben können: $$\begin{align} Q=-\sum_{\nu\ge 1}\int_{\mathbb{R}^2}F^{0\nu}\bigr|_{|x_\nu|\to\infty} d^3 x.\tag{8} \end{align}$$ Da die Felder im Unendlichen verschwinden, erhalten wir: $$\begin{align} Q\equiv 0.\tag{9} \end{align}$$

Mit anderen Worten, wenn dies richtig ist, zeigt dies, dass die Gebühr für dieses System identisch Null ist und dass nichts erhalten bleibt (es scheint falsch zu callen$d0/dt\equiv 0$eher ein Erhaltungsgesetz als eine Tautologie/Identität).

verwandte Links

Es gibt einige andere Fragen, die von Benutzern gestellt wurden und die in gewissem Zusammenhang damit stehen. Ich glaube jedoch nicht, dass die Erhaltung des tatsächlichen Ladungsintegrals irgendwo angesprochen wurde. Man zeigt, dass die Ladungsdichte als totale Divergenz umgeschrieben werden kann, woraus natürlich das Argument folgt. Dieser Artikel enthält die Tatsache, dass es kein Erhaltungsgesetz für die lokale Eichsymmetrie gibt, verdeutlicht dies jedoch nicht für den Fall der globalen Symmetrie (der ein Spezialfall der lokalen Ergebnisse sein sollte). Ein weiterer gibt einen Überblick über die Ladungserhaltung.

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Eine andere Frage befasst sich ebenfalls mit der Ladungserhaltung, scheint sich jedoch mehr mit der Interpretation der Ladungsdichte zu befassen. Ich frage stattdessen, ob die Dichte überhaupt erhalten bleibt.