Was ist die mathematische Bedeutung und Bedingung dafür, dass die Noether-Ladung lokal erhalten bleibt?

Eine Menge$Q$mit einer Dichte$\rho(t,x)$(so dass$Q(V) = \int_V \rho(t,x)\mathrm{d}x$ist die Menge von$Q$innen$V$) ist global erhalten , wenn der globale Betrag von$Q$ist konstant, dh$\int\rho(x)$nicht zeitabhängig, wenn wir über den gesamten Raum integrieren$M$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_M \rho(t,x)\mathrm{d}x=0\tag{1}$$ Eine solche Menge ist für jedes Volumen lokal erhalten $V$wir haben das $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho = \nabla j,\tag{2}$$ Wo $j$ist die Stromdichte von $Q$, dh die Funktion sagt, wie viel von$Q$durchquert eine gegebene Flächeneinheit in einer gegebenen Zeiteinheit .

Der Satz von Noether besagt, dass es zu jeder Quasisymmetrie der Wirkung eine lokal erhaltene Größe gibt. Der Begriff der „lokalen Erhaltung“ steht in keinem Zusammenhang mit dem Begriff der „lokalen Symmetrien“ (dh Eichsymmetrien).

Es gibt eine etwas andere Vorstellung von lokaler vs. globaler Erhaltung im Zusammenhang mit z. B. der allgemeinen Relativitätstheorie (das Folgende ist aus diesem Artikel von Baez paraphrasiert , für weitere Diskussionen über die globale Energieeinsparung in GR siehe diese Frage und die damit verbundenen Fragen): Hier finden Sie oft Leute, die sagen, dass etwas (wie Energie oder Impuls) lokal, aber nicht global erhalten bleibt, und was es bedeutet, dass während der Differentialaussage wie$\dot{\rho} = \nabla j$gilt, seine klassisch äquivalente integrale Formulierung

$$\int_V \rho(t_1,x)\mathrm{d}x - \int_V \rho(t_2,x)\mathrm{d}x = \int_{\partial V}\int_{t_0}^{t_1} \rho(t,x)\mathrm{d}t\mathrm{d}S\tag{3}$$ gilt nicht wenn $\rho,Q$sind keine Skalare, sondern Vektoren/Tensoren wie im Fall des Energie-Impuls-Tensors. In diesem Fall ist die Differentialgleichung eine "lokale" Aussage und die Integralformulierung eine "globale" Aussage.