Erhaltungsladungen und Generatoren

OP fragt sich, ob die mit einer kontinuierlichen Symmetrie verbundene konservierte Ladung immer die Symmetrie selbst erzeugt. Wir können ganz allgemein sagen, dass die Antwort lautet

Ja.

Lassen Sie uns sehen, wie das funktioniert.

Klassische Mechanik.

Wir verwenden eher eine an die klassische Feldtheorie angepasste Notation als die Punkt-Teilchen-Mechanik, aber die erstere schließt die letztere als speziellen Unterfall ein, sodass wir keine Allgemeingültigkeit verlieren.

Stellen Sie sich ein klassisches System vor, das Eichfelder und/oder ungerade Grassmann-Variablen enthalten kann oder nicht. Der Einfachheit halber betrachten wir eine flache Raumzeit. Angenommen, das System ist unter der infinitesimalen Transformation invariant$\phi\to\phi+\delta\phi$. Nach dem Satz von Noether gibt es einen Strom $j^\mu$

$$j^\mu\sim \frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\phi_{,\mu}}\delta\phi$$ die auf der Schale konserviert ist, $$\partial_\mu j^\mu\overset{\mathrm{OS}}=0$$

Dies impliziert wiederum die zugehörige Noether-Ladung $Q$

$$Q\overset{\mathrm{def}}=\int_{\mathbb R^{d-1}} j^{0}\,\mathrm d\boldsymbol x$$ wird konserviert, $$\dot Q\overset{\mathrm{OS}}=0$$

In Ref.1 wird bewiesen, dass die Ladung$Q$erzeugt die Verwandlung$\delta\phi$,

$$\delta\phi=(Q,\phi)$$

Wo$(\cdot,\cdot)$ist die DeWitt-Peierls-Klammer . Genau das ist unser Anspruch. Der Leser findet den Beweis des Theorems in der zitierten Referenz sowie eine nette Diskussion über die Bedeutung des Ergebnisses.

Darüber hinaus gilt eine ähnliche Aussage, wenn die Raumzeit gekrümmt ist, aber dies erfordert die Existenz eines geeigneten Killing Fields (vgl. diesen PSE-Beitrag ).

Darüber hinaus beweist Ref.1 dies für kanonische Standardsysteme$(\cdot,\cdot)$stimmt mit der Poisson-Klammer überein$\{\cdot,\cdot\}$.

Quantenmechanik.

Dies ist in der Tat eine Folge des vorherigen Falls. Ref.1 beweist, dass bis auf die üblichen Ordnungsmehrdeutigkeiten, die dem Quantisierungsverfahren innewohnen, die DeWitt-Peierls-Klammer zweier Fundamentalkörper mit dem Kommutator übereinstimmt$[\cdot,\cdot]$der entsprechenden Operatoren.

Wenn wir davon ausgehen, dass das klassische Erhaltungsgesetz$\partial_\mu j^\mu\equiv 0$vom Regulator nicht verletzt wird (dh wenn die Symmetrie nicht anomal ist), dann erhalten wir nämlich automatisch das Quantenanalog unseres vorherigen Ergebnisses

$$\delta\phi=-i[Q,\phi]$$

nach Bedarf.

Verweise

1. Bryce DeWitt, Der globale Ansatz zur Quantenfeldtheorie .

Meine Frage ist, ob beide, die Generatoren und die erhaltenen Ladungen einer Symmetrie, immer dasselbe sind?

Ja, sie sind. Um das zu sehen, betrachten wir eine generische Symmetrie der Aktion, die einen erhaltenen Strom hat$j^\mu$aufgrund des Satzes von Noether. In diesem Fall können wir einen Erhaltungsstrom definieren als

$$Q(t)=\int d^3x J^0 ~.$$

Da die Felder (dh$\phi$) sind Operatoren, bei der ersten Ordnung transformieren sie sich unter der Symmetrie als

$$\phi\rightarrow\phi'=e^{iT}\phi e^{-iT}\simeq(1+iT)\phi(1-iT)=\phi+i[T,\phi]~,$$ Wo $T$ist der Generator der Transformation im Feld rappresentation. Also haben wir $$\phi'-\phi=\delta\phi=i[T,\phi]~.$$

Wenn wir das zeigen$-i\delta\phi=[Q,\phi]$, dann ist das Spiel vorbei. Lassen Sie uns dies in den beiden Fällen von Raumzeit-Translationen und internen Symmetrien tun.

Raumzeit-Übersetzungen : Im Fall von Raumzeit-Übersetzungen gibt uns das Noether-Theorem 4 konservierte Ströme, as

$$\partial_\mu T^{\mu}_\nu=0$$ und so, aus dem Ausdruck von $T^{\mu}_\nu$, wir haben $$Q_\nu(t)=\int d^3 xT^{0}_\nu=\int d^3 x(\pi\partial_\nu \phi-\mathcal L g^{0}_{\nu})$$ Form which (unter Verwendung kanonischer Kommutierungsregeln) $$[Q_\nu(t),\phi(y,t)]=\int d^3x[\pi(x,t)\partial_\nu \phi(x,t)-\mathcal L g^{0}_{\nu},\phi(y,t)]=-i\partial_\nu\phi(y,t)$$ das ist gleich $-i\delta\phi$(für eine bestimmte Übersetzung von $a^\mu$) $$\phi'=\phi+a^\mu\partial_\mu\phi$$

Interne Symmetrien: : Im Fall der internen Symmetrie haben wir das

$$j^\mu=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \partial^\mu\phi}\delta\phi$$ und so ist der erhaltene Strom $$Q(t)=\int d^3x j^0=\int d^3 \pi(x,t)\delta\phi(x,t)~.$$ Wir können sehen, dass dieser Fall seitdem einfacher ist $$[Q(t),\phi(y,t)]=\int d^3x[\pi(x,t),\phi(y,t)]\delta\phi(x,t)=-i\delta\phi(y,t)~.$$

Jeder Operator, der mit dem Hamilton-Operator pendelt (und keine explizite Zeitabhängigkeit hat), bleibt in der Zeit erhalten, wie trivial aus der Heisenberg-Bewegungsgleichung des Operators ersichtlich ist . Natürlich, wenn ein Operator$A$pendelt also mit dem Hamiltonian$f(A)$funktioniert auch für jede analytische Funktion$f$, also erhalten wir trivialerweise einen unendlichdimensionalen Raum von (nicht algebraisch unabhängigen) Erhaltungsgrößen.

Wenn die Symmetrie kontinuierlich ist, können wir die unitären Symmetrietransformationen indizieren$U(\theta)$durch einen stetigen Parameter$\theta$, als der Symmetriegenerator$T := i \frac{dU}{d\theta}|_{\theta = 0}$ist eine Erhaltungsgröße und ist im Allgemeinen der kanonische Repräsentant der Äquivalenzklasse von (algebraisch abhängigen) Erhaltungsgrößen, die wir als "die" Erhaltungsgröße identifizieren, die der Symmetrie entspricht. Aber wir hätten genauso gut wählen können$U$sich stattdessen. (Für Vielteilchensysteme und in der Feldtheorie gilt$T$ist in der Regel natürlicher als$U$zu arbeiten, da es als räumliche Summe/Integral über lokale Terme dargestellt werden kann.)

Wenn die Symmetrie diskret ist, können wir keinen Generator definieren und müssen mit dem unitären Operator arbeiten$U$selbst, was immer noch eine gültige Erhaltungsgröße ist (z. B. die Parität des Feldes, sodass wir uns keine Gedanken darüber machen müssen, dass sich Skalare mit der Zeit in Pseudoskalare entwickeln oder umgekehrt).

Jeder Erzeuger einer kontinuierlichen Symmetrie ist also eine dieser Symmetrie entsprechende Erhaltungsgröße, aber nicht jede einer Symmetrie entsprechende Erhaltungsgröße ist der Erzeuger einer kontinuierlichen Symmetrie.