Klassische EM: klare Verbindung zwischen Eichsymmetrie und Ladungserhaltung

Question

Klassische EM: klare Verbindung zwischen Eichsymmetrie und Ladungserhaltung

Dolun

Im Fall der klassischen Feldtheorie stellt der Satz von Noether dies für eine gegebene Aktion sicher

S = \int D^{D} X L (ϕ_{μ}, \partial_{v} ϕ_{μ}, X^{ich})

$S=\int \mathrm{d}^dx\,\mathcal{L}(\phi_\mu,\partial_\nu\phi_\mu,x^i)$ das bleibt unter der Transformation invariant

{x^{i} \to x^{i} + δ x^{i}; ϕ_{μ} \to ϕ_{μ} + δ ϕ_{μ}}

$\{ x^i\rightarrow x^i+\delta x^i \,;\, \phi_\mu\rightarrow \phi_\mu+\delta \phi_\mu\}$ , nämlich eine lokale Symmetrie , dann gibt es Erhaltungsgrößen namens Ströme .

Wenn es eine Reihe von Variablen gibt $\{\epsilon_r,X_r^i,\Phi_r^\mu\}$ (Wo $\epsilon_r\rightarrow 0$ ) so dass $\delta x^i=\epsilon_r\,X_r^i$ Und $\delta \phi^\mu=\epsilon_r\,\Phi_r^\mu$ , dann sind diese Ströme die Größen:

J_{R}^{v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ^{μ})} Φ_{R}^{μ} + [L δ_{σ}^{v} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ^{μ})} \partial_{σ} ϕ^{μ}] X_{R}^{σ} .

$J_r^{\,\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu\phi^\mu)}\Phi_r^\mu+\left[\mathcal{L}\delta_\sigma^{\,\nu}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu\phi^\mu)}\partial_\sigma\phi^\mu\right]X_r^\sigma.$ Diese sind in dem Sinne konserviert, dass

\partial_{ν} J_{r}^{ν} = 0

$\partial_\nu J_r^{\,\nu}=0$ , was auf der Schale wahr ist, dh sofern die Bewegungsgleichungen verifiziert sind.

Jetzt versuche ich, dieses Ergebnis auf die klassische EM-Feldtheorie anzuwenden . Betrachten Sie den zugehörigen Lagrangian:

L_{E M} = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + A_{μ} J^{μ}

$\mathcal{L}_{EM}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_\mu j^{\,\mu}$ Wo

A_{μ} = (ϕ, - A)

$A_\mu=(\phi,-\textbf{A})$ ist das 4-Potenzial und

j^{μ} = (ρ, j)

$j^{\,\mu}=(\rho,\textbf{j})$ ist der 4-Strom, der klassische Ladungsquellen beschreibt .

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ ist der EM-Tensor .

Bewegungsgleichungen sind in diesem Fall:

\partial_{v} F^{v μ} = J^{μ} .

$\partial_\nu F^{\nu\mu}=j^{\,\mu}.$

Unter Berücksichtigung der globalen Eichsymmetrie der klassischen EM-Feldtheorie

A_{μ} \to A_{μ} + ϵ \partial_{μ} χ

$A_\mu\rightarrow A_\mu+\epsilon\,\partial_\mu\chi$ Wo

χ

$\chi$ eine beliebige Eichfunktion ist, möchte ich den Satz von Noether in dem Fall anwenden, in dem

X_{r}^{i} = 0

$X_r^i=0$ . Unter Bezugnahme auf diesen Phys.SE-Beitrag lautet der zugehörige konservierte Strom:

J^{μ} = F^{μ v} \partial_{v} χ mit \partial_{μ} J^{μ} = 0.

$J^\mu=F^{\mu\nu}\partial_\nu\chi\quad\text{with}\quad\partial_\mu J^\mu=0.$ Gut, jetzt habe ich ein paar Fragen:

Ist es wirklich legitim, den Satz von Noether auf die globale Eichsymmetrie anzuwenden ? Ich meine, ist der Satz von Noether immer noch gültig, auch wenn ich einen Satz habe $\{\epsilon_r,X_r^i=0,\Phi_r^\mu\}$ , dh keine Transformation auf Koordinaten?

Verwandte: Spursymmetrie ist keine Symmetrie? .

Was bedeutet in diesem Fall die $J^\mu$ Quantität physikalisch bedeutet? Man kann mit Hilfe von Bewegungsgleichungen und der Antisymmetrie von rechnen $F^{\mu\nu}$ :
$\partial_{μ} J^{μ} = \partial_{μ} F^{μ v} \partial_{v} χ + F^{μ v} \partial_{μ} \partial_{v} χ = J^{v} \partial_{v} χ + 0.$ $\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu F^{\mu\nu}\,\partial_\nu\chi + F^{\mu\nu}\,\partial_\mu\partial_\nu\chi=j^{\,\nu}\,\partial_\nu\chi+0.$ Ich würde eher so etwas erwarten $\partial_{μ} J^{μ} = \partial_{μ} J^{μ} = 0, \forall χ .$ $\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu j^{\,\mu}=0,\;\forall\chi.$ In diesem Fall könnte ich verstehen, dass die Ladungserhaltung direkt von der globalen Eichsymmetrie herrührt . Da fehlt mir eindeutig etwas. Oder sollte ich durch Rechnen täuschen $\int\mathrm{d}x\,\partial_\mu J^\mu$ und eine partielle Integration durchführen?
Ich kann nirgendwo deutlich erkennen, dass die Physik der klassischen EM-Theorie unter der Lorentz-Transformation invariant ist . Ich würde erwarten, dass eine solche Invarianz eine wirklich starke Symmetrie des Systems wäre.

ACuriousMind

Genau genommen gilt der Satz von Noether nur für globale Symmetrien, und was Sie dort aufgeschrieben haben, ist seitdem keine globale Symmetrie

χ

$\chi$ hängt von der Raumzeit ab. Ich verstehe Ihre letzte Frage nicht - der Yang-Mills-Lagrangian ist offensichtlich Lorentz-invariant, und die mit der Lorentz-Symmetrie verbundene Größe ist wie immer der Spannungs-Energie-Tensor.

Dolun

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Etwas verstehe ich nicht: also wenn hier

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} χ

$A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu\chi$ ist keine globale Symmetrie, warum dann die Transformation

x^{i} \to x^{i} + δ x^{i}, ϕ_{μ} \to ϕ_{μ} + δ ϕ_{μ}

$x^i\rightarrow x^i+\delta x^i\,,\,\phi_\mu\rightarrow \phi_\mu +\delta\phi_\mu$ sollte globale Symmetrie genannt werden, da sie auch koordinatenabhängig ist? Hat der Unterschied zwischen lokaler und globaler Symmetrie etwas damit zu tun, dass Erhaltungssätze on-shell oder off-shell abgeleitet werden können?

Dolun

Bei der letzten Frage hatte ich nur das Gefühl, dass sich die Lorentz-Invarianz mit der Eichinvarianz "vermischen" würde, um die Ladungserhaltung sicherzustellen, aber ich habe mich sicherlich geirrt.

Antworten (2)

Klassische EM: klare Verbindung zwischen Eichsymmetrie und Ladungserhaltung

Genau genommen gilt der Satz von Noether nur für globale Symmetrien, und was Sie dort aufgeschrieben haben, ist seitdem keine globale Symmetrie $\chi$ hängt von der Raumzeit ab. Ich verstehe Ihre letzte Frage nicht - der Yang-Mills-Lagrangian ist offensichtlich Lorentz-invariant, und die mit der Lorentz-Symmetrie verbundene Größe ist wie immer der Spannungs-Energie-Tensor.
Vielen Dank für Ihren Kommentar. Etwas verstehe ich nicht: also wenn hier $A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu\chi$ ist keine globale Symmetrie, warum dann die Transformation $x^i\rightarrow x^i+\delta x^i\,,\,\phi_\mu\rightarrow \phi_\mu +\delta\phi_\mu$ sollte globale Symmetrie genannt werden, da sie auch koordinatenabhängig ist? Hat der Unterschied zwischen lokaler und globaler Symmetrie etwas damit zu tun, dass Erhaltungssätze on-shell oder off-shell abgeleitet werden können?
Bei der letzten Frage hatte ich nur das Gefühl, dass sich die Lorentz-Invarianz mit der Eichinvarianz "vermischen" würde, um die Ladungserhaltung sicherzustellen, aber ich habe mich sicherlich geirrt.

ACuriousMind · Answer 1

Der (erste) Satz von Noether ist nicht auf lokale Symmetrien wie Eichsymmetrien anwendbar. Für lokale Symmetrien sollte man stattdessen den weniger bekannten zweiten Satz von Noether verwenden . Im Allgemeinen kann man sowohl ihren ersten als auch ihren zweiten Satz wie folgt formulieren:

Lassen $\mathscr{L}(\phi):= \frac{\partial L}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}$ bezeichnen den Lagrange-Ausdruck für das Feld $\phi$ . Lassen $\phi_i$ seien die Felder unserer Theorie. Dann gilt für jede Variation der Felder ( $\delta\phi_i = \delta_0 \phi_i + \partial_\mu\phi_i\delta x^\mu$ ) und Koordinaten
$\sum_{ich} L (ϕ_{ich}) δ_{0} ϕ + \sum_{ich} \partial_{μ} (L δ X^{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ_{ich})} δ_{0} ϕ_{ich}) = 0$ $\sum_i \mathscr{L}(\phi_i)\delta_0 \phi + \sum_i \partial_\mu (L\delta x^\mu + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)}\delta_0\phi_i) = 0$ hält wenn $\delta S = 0$ .

Daraus folgt der erste Satz von Noether mit dem üblichen erhaltenen Strom, indem er die Variation der Felder als globale Symmetrietransformation annimmt, dh $\delta \phi_i = \sum_a \frac{\partial \delta \phi_i}{\partial \epsilon^a}\epsilon^a$ für den kontinuierlichen Parameter $\epsilon \in \mathbb{R}^N$ der Symmetriegruppe und erkennen, dass auf der Schale $\mathscr{L}(\phi_i) = 0$ .

Der zweite Satz von Noether ist, was Sie erhalten, wenn die $\epsilon^a$ dürfen von der Raumzeit abhängen. Wenn wir solche lokalen Transformationen zulassen, dann haben wir $\delta \phi_i = c_{ai}\epsilon^a + d^\mu_{ai}\partial_\mu\epsilon^a$ für einige Konstanten $c,d$ . (Im Allgemeinen darf die lokale Transformation auch von höheren Ableitungen abhängen, aber im Kontext von Eichtheorien nicht (und selbst dort ist die einzige ableitungsabhängige Transformation die des Eichfelds selbst)) Dann , lautet die Aussage von Noethers zweitem Theorem

\sum_{ich} L (ϕ_{ich}) C_{A ich} - \sum_{ich} \partial_{μ} (L (ϕ_{ich}) D_{A ich}^{μ}) = 0

$\sum_i \mathscr{L}(\phi_i)c_{ai} - \sum_i \partial_\mu (\mathscr{L}(\phi_i)d^\mu_{ai}) = 0$

Im Fall des Elektromagnetismus haben Sie (mindestens) zwei Möglichkeiten, diese Variationen des Satzes von Noether zu verwenden, um die Ladungserhaltung zu erhalten: Sie können die globale Eichsymmetrie zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen des Materiefelds verwenden, oder Sie können das lokale Eichgerät verwenden Symmetrie zusammen mit den Eichfeld -EL-Gleichungen (Sie müssen ein bisschen knifflig sein, um es auf die letztere Weise zu machen - siehe die Referenz am Ende).

Der naive konservierte Strom aus der Frage, $J^\mu = F^{\mu\nu}\partial_\nu \chi$ , hat keine physikalische Bedeutung, da es nicht eichinvariant und daher nicht beobachtbar ist.

Eine wunderbar prägnante Tour durch die verschiedenen Versionen von Noethers Theorem im Zusammenhang mit Eichtheorien wird in "Noether's Theorems and Gauge Symmetries" von K. Brading und HR Brown gegeben .

QMechaniker · Answer 2

I) OPs Modell

S [A] = \int D^{4} X (- \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} + J^{μ} A_{μ}),

$S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$ wird als Punkt 4 in meiner Phys.SE-Antwort hier erwähnt . Lassen Sie uns (um in sich geschlossen zu sein) wiederholen:

J^{μ}

$J^{\mu}$ werden als passive nicht-dynamische klassische Hintergrundmaterialquellen behandelt. Mit anderen Worten, nur die Anzeigefelder

A_{μ}

$A_{\mu}$ sind dynamische Variablen in diesem Modell. Bevor wir überhaupt anfangen, müssen wir die lokale (off-shell) Spursymmetrie der Aktion sicherstellen

S [A]

$S[A]$ bis zu den Randbedingungen. Dies impliziert, dass die klassischen Hintergrundquellen

J^{μ}

$J^{\mu}$ muss die Kontinuitätsgleichung erfüllen

d_{μ} J^{μ} = 0

$d_{\mu}J^{\mu}=0$ aus der Schale. Somit wird uns ein Erhaltungssatz aufgezwungen, noch bevor wir die Sätze von Noether anwenden. Beachten Sie, dass die globale Eichsymmetrie in diesem Modell eine leere Aussage ist.

II) Es scheint, dass OPs Problem mit der Anwendung von Noethers erstem Theorem für globale Symmetrie mit der Tatsache zusammenhängt, dass er die Materietheorie nicht in seine Aktion einbezieht. Man sollte die volle Aktion betrachten $S[A,\Psi]$ von Eich- und Materiefeldern.

Die elektrische Ladungserhaltung folgt dann aus der globalen Eichsymmetrie der vollen Aktion $S[A,\Psi]$ , vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge.

III) Da die globale Eichsymmetrie eine Teilmenge der lokalen Eichsymmetrie ist, folgt die Ladungserhaltung im Prinzip auch aus der lokalen Eichsymmetrie. Aber aus puristischer/minimalistischer Sicht ist es übertrieben, die lokale Eichsymmetrie zu verwenden, um die Ladungserhaltung zu beweisen.

Lokale Eichsymmetrie ist der Bereich von Noethers zweitem Theorem, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag. Das mit dem zweiten Noether-Strom verbundene Off-Shell-Erhaltungsgesetz ist für die Elektrodynamik eine Trivialität.

Danke für deine Antwort. Technisch gesehen, wenn ich es gut verstehe: Wenn ich die Ladungserhaltung beweisen will, muss ich das Materiefeld einbeziehen $\Psi$ im Modell, oder? Eigentlich Hintergrundquellen $J^\mu$ erfüllen tautologisch die Kontinuitätsgleichung, nur weil sie Quellen sind. Ist das richtig?

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