Noethers erster Satz und klassischer Beweis der Erhaltung der elektrischen Ladung

Mit dem Wort klassisch meinen wir$\hbar=0$, und wir verwenden die Konventionen von Ref. 1.

Die Lagrange-Dichte für die Maxwell-Theorie mit verschiedenen Materieinhalten ist$^1$

$${\cal L} ~=~{\cal L}_{\rm Maxwell} + {\cal L}_{\rm matter} ,\tag{1}$$

$${\cal L}_{\rm Maxwell}~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{2}$$

$${\cal L}_{\rm matter}~=~{\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED}+{\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED} + \ldots,\tag{3}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED} ~:=~ \overline{\Psi}( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ,\tag{4}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED}~:=~ -(D_{\mu}\phi)^{\dagger} D^{\mu}\phi -m^2\phi^{\dagger}\phi -\frac{\lambda}{4} (\phi^{\dagger}\phi)^2,\tag{5}$$

mit kovarianter Ableitung

$$D_{\mu}~=~d_{\mu}-ieA_{\mu}, \tag{6}$$ und mit Minkowski-Vorzeichenkonvention (-, +, +, +). (Hier sind wir zu faul, verschiedene Materiemassen zu bezeichnen $m$und Gebühren $e$anders.) Die Materie Bewegungsgleichungen (eom) sind

$$( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad D_{\mu}D^{\mu}\phi~\stackrel{m}{\approx}~m^2\phi+\frac{\lambda}{2} \phi^{\dagger}\phi^2, \qquad \ldots.\tag{7}$$

(Das$\stackrel{m}{\approx}$Symbol bedeutet Gleichheit modulo matter eom, dh eine On-Shell-Gleichheit.)

Die infinitesimale globale Off-Shell-Gauge-Transformation ist

$$\delta A_{\mu} ~=~0, \qquad \delta\Psi~=~-i\epsilon \Psi, \qquad \delta\overline{\Psi}~=~i\epsilon \overline{\Psi},$$ $$\delta\phi~=~-i\epsilon \phi,\qquad \delta\phi^{\dagger}~=~i\epsilon \phi^{\dagger}, \qquad \ldots, \qquad\delta {\cal L} ~=~0,\tag{8}$$

wo der infinitesimale Parameter$\epsilon$hängt nicht davon ab$x$.

Der Noetherstrom ist das Elektrische$4$-aktuell$^2$

$$j^{\mu}~=~e\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi - ie\{\phi^{\dagger} D^{\mu}\phi-(D^{\mu}\phi)^{\dagger}\phi\}+\ldots. \tag{9}$$

Noethers erster Satz ist ein Satz über die klassische Feldtheorie. Es ergibt eine On-Shell- Kontinuitätsgleichung$^3$

$$d_{\mu}j^{\mu}~\stackrel{m}{\approx}~0.\tag{10}$$

Daher die elektrische Ladung

$$Q~=~\int\! d^3x~ j^0\tag{11}$$

wird auf der Schale konserviert.

Verweise:

1. M. Srednicki, QFT.

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$^1$Beachten Sie, dass die Materie Lagrange-Dichte${\cal L}_{\rm matter}$kann vom Spurweitenbereich abhängen$A_{\mu}$

$^2$Interessanterweise die elektrische$4$-aktuell$j^{\mu}$hängt vom Eichpotential ab$A_{\mu}$im Falle einer skalaren QED-Materie.

$^3$Beachten Sie, dass der obige Beweis der Kontinuitätsgleichung (10) über den ersten Satz von Noether (wie vom OP angefordert) niemals die Maxwell-Gleichungen verwendet.