Wie enthalten die elektrischen oder magnetischen Felder Impuls?

Question

Wie enthalten die elektrischen oder magnetischen Felder Impuls?

youpilat13

Ich habe kürzlich erfahren, dass das elektrische und das magnetische Feld sowohl lineare als auch Drehimpulse enthalten, die bekannte Funktionen der elektrischen und magnetischen Felder zu jedem gegebenen Punkt in Raum und Zeit sind.

Ich verstehe nicht, wie das der Fall ist; kannst du erklären wie das funktioniert? Hängt es mit Photonen zusammen, die von den Beschleunigungsladungen emittiert werden, oder mit der Abraham-Lorentz-Kraft?

Emilio Pisanty

Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/114466

Antworten (5)

Wie enthalten die elektrischen oder magnetischen Felder Impuls?

Emilio Pisanty · Answer 1

In Bezug auf ein Photonenbild ist dies überhaupt nicht wirklich mysteriös. Die elektromagnetische Kraft wird in ihrer quantenmechanischen Beschreibung durch den Austausch von Photonen vermittelt. Diese können real sein – dh reale Lichtstrahlen darstellen – oder virtuell sein, was bedeutet, dass die Energie für die Existenz des Photons für eine kurze Zeit „geliehen“ wurde, wie es die Heisenbergsche Unschärferelation erlaubt. Elektrostatische und magnetostatische Felder bestehen im Quantenbild aus einer riesigen Anzahl virtueller Photonen, die hin und her fliegen.

Nun trägt jedes dieser Photonen einen bestimmten Impuls. Das müssen sie, weil sie auf die geladenen Teilchen, die sie absorbieren oder emittieren, eine Kraft ausüben. Da jedes Photon einen Impuls trägt, ist es keine Überraschung, dass das Feld als Ganzes eine gewisse Nettomenge an Impuls enthalten kann! Manchmal ist dies Null – die Beiträge der verschiedenen Photonen heben sich entweder lokal an jedem Punkt oder global auf, sobald alle Punkte berücksichtigt sind – aber das muss nicht der Fall sein. Somit kann das elektromagnetische Feld Impuls tragen.

Nun, dies ist ein nettes und intuitives Bild, aber es basiert auf einem sehr exotischen Konzept, daher würde ich verstehen, wenn es Sie ein wenig verwirrt. Mehr noch, da die Existenz eines elektromagnetischen Feldimpulses in der klassischen Elektrodynamik erforderlich ist, würde man auch eine Antwort wünschen, die keine Quantenmechanik erfordert, um sie zu erklären. (Denken Sie sorgfältig über diesen letzten Teil nach – es ist kein triviales Argument.)

Ob das Feld Momentum „hat“ oder nicht, ist letztlich eine Frage der Definition des Wortes „have“, das ein menschliches Konstrukt ist. Streng genommen stimmt das

Es ist möglich, Situationen zu schaffen, in denen geladene Teilchen so interagieren, dass ihr mechanischer Gesamtimpuls nicht erhalten bleibt, aber sobald alle Teilchen wieder getrennt sind, ihr endgültiger Gesamtimpuls gleich dem anfänglichen ist.

Ergänzt wird dies dadurch, dass

Es gibt eine Größe mit Impulseinheiten, die aus den elektrischen und magnetischen Feldern an jedem Punkt berechnet werden kann und die eine Erhaltungsgröße ergibt, wenn sie zum gesamten mechanischen Impuls der Teilchen hinzugefügt wird.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Impulserhaltung nicht gegeben ist; es ist eine Eigenschaft physikalischer Theorien, die jede bestimmte Theorie haben kann oder nicht. (Zufällig beobachten alle physikalischen Theorien, die wir in der realen Welt beobachten, dies in irgendeiner Form, aber das ist nicht a priori garantiert.)

Ein Beispiel dafür ist die Newtonsche Mechanik mit Kräften, die dem dritten Newtonschen Gesetz gehorchen. In diesem Fall ist es ein Theorem der Theorie, dass das gesamte mechanische Moment erhalten bleibt.

Ein weiteres Beispiel ist der Satz von Noether, der in dynamischen Systemen einer bestimmten Klasse einen Impulserhaltungssatz garantiert, dessen Gesetze translationsinvariant sind. Für bestimmte Systeme existiert diese Invarianz und daher bleibt der Impuls erhalten; für andere ist es nicht und das Momentum wird nicht konserviert.

Für geladene mechanische Teilchen, die elektromagnetisch wechselwirken, gilt das dritte Newtonsche Gesetz nicht, daher ist unser altes Theorem nicht anwendbar (und tatsächlich ist seine Schlussfolgerung falsch, da das mechanische Moment nicht erhalten bleibt). Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir keinen intelligenteren, anspruchsvolleren Satz finden können, der ein Erhaltungsgesetz impliziert.

Man muss sich also ein bisschen hinsetzen und an der Mathematik rütteln, aber der Satz ist tatsächlich beweisbar. Im Wesentlichen ist das, was Sie tun

Schreiben Sie die Gesamtkraft auf die mechanischen Teilchen auf,
in Form von elektromagnetischen Feldern, Ladungen und Strömen ausdrücken,
Verwenden Sie die Maxwell-Gleichungen, um die Ladungen und Ströme in elektrische und magnetische Felder umzuwandeln, und somit
Leiten Sie einen Ausdruck für die mechanische Gesamtkraft auf das System als Integral einer bestimmten Funktion der elektrischen und magnetischen Felder an jedem Punkt her.
Man muss diese Größe dann in die Gesamtzeitableitung eines einfacheren Ausdrucks umwandeln, der als Impuls des elektromagnetischen Felds interpretiert wird. Dies ist möglich, hinterlässt jedoch einen Rest, der davon abhängt, über welches Volumen Sie integrieren.
Man kann dann beweisen, dass dieser Rest für lokalisierte Systeme verschwindet. Wenn dies der Fall ist, bleibt der gesamte dynamische Impuls - mechanisch plus elektromagnetisch - erhalten.

Im Allgemeinen würde ich Ihnen davon abraten, diese Berechnung zu versuchen, bis Sie solide Kurse in Elektromagnetismus und Vektorrechnung auf Universitätsniveau belegt haben, oder Sie werden sich nur dagegen stoßen. Konzentrieren Sie sich stattdessen auf die Physik auf qualitativer Ebene.

Wenn Sie spezifischere Fragen haben, versuche ich gerne zu antworten, aber wenn Sie Details zur Mathematik wünschen, müssen Sie Ihren Hintergrund angeben, damit wir Antworten geben können, die Sie verstehen.

Fausto Vezzaro · Answer 2

Ich zeige Ihnen "wie das so ist", "wie das funktioniert", aber das braucht Zeit. Dies ist eine sehr interessante Frage, und es tut mir leid zu sehen, dass Bücher in zwei Sätze unterteilt sind: grundlegende, die einfach das Problem überspringen (vielleicht erwähnen sie es oder melden Formeln, die besagen, dass Berechnungen langweilig sind, während sie aufregend sind); und Fortgeschrittene, die sich offensichtlich mit einem so wichtigen Problem befassen, aber sie lösen alles mit wenigen Symbolen und verwenden so harte Mathematik, dass sie für weniger fähige Leser (hier bin ich) schwer zu verstehen sind. Ich finde, dass der beste Kompromiss wie immer Griffiths ist (von dem ich den größten Teil dieser Antwort nehme). Aber ausnahmsweise möchte ich auch sein Buch kritisieren. Er stellte den Leser vor die traumatisierende Divergenz einer Matrix, ohne ihn auf den Umgang mit einem solchen Objekt vorzubereiten. Das ist der Grund warum ich' Ich werde in diese Antwort einen Abschnitt mit dem Namen "Alternatives Divergenztheorem" einfügen. Hier werde ich immer kartesische Koordinaten verwenden, ich stelle einfach fest, dass dies der einfachste Weg ist, um zu sehen, warum es eine Impulsdichte des elektromagnetischen Felds gibt, und um zu berechnen, wie groß sie ist. Diese Berechnungen sind lang, aber wenn der Leser mir vertraut, wird er/sie zufrieden sein.

Impulsstromdichte

Es ist notwendig, das Konzept der Impulsstromdichte einzuführen. Wie Stromdichte $\mathbf{J}$ ist ein solcher Vektor $\mathbf{J} \cdot d\mathbf{a} dt$ gibt die Menge der Ladung an, die durchgeht $d\mathbf{a}$ im Intervall $t \to t+dt$ ; Impulsstromdichte ist eine solche Matrix ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a} dt$ gibt die Menge an Impuls an, die durchfließt $d\mathbf{a}$ im Intervall $t \to t+dt$ . Ladung ist ein Skalar, also ist Stromdichte ein Vektor, aber Impuls ist ein Vektor, also klingt es vernünftig, eine Matrix einzuführen, um seine Stromdichte zu beschreiben (das Skalarprodukt mit einem Vektor ergibt einen Vektor). In dieser Definition sage ich nicht, ob ich tun muss ${\sf{M}} \cdot d\mathbf{a}$ oder $d\mathbf{a} \cdot {\sf{M}}$ , aber das ist dasselbe: Wir werden sehen, dass die Impulsstromdichte in kartesischen Koordinaten eine symmetrische Matrix ist.

Eine interessante Art, die Impulserhaltung zu beschreiben

Nehmen wir an, das Innenvolumen $V$ bewegen sich geladene Teilchen in einem elektromagnetischen Feld (nicht unbedingt alle durch die Ladung selbst gegeben). Lass uns sein $d\mathbf{p}$ die Änderung, während der Zeit $dt$ , des Impulses dieser Körper in das Volumen $V$ . Wenn wir diese Gleichung schreiben können,

\frac{D P}{D T} = - \frac{D}{D T} \int_{v} C D τ - \oint_{S} D \cdot D A

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \mathbf{C} d \tau - \oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ dann ist die einzig vernünftige Interpretation die

C

$\mathbf{C}$ ist Impulsdichte des Feldes und

D

${\sf{D}}$ ist die Impulsstromdichte. Tatsächlich sagt die obige Gleichung auf diese Weise, dass sich der Feldimpuls im Intervall ändert

t \to t + d t

$t \to t+dt$ innerhalb des Volumens (dh

d (\int_{V} C d τ)

$d \left( \int_V \mathbf{C} d \tau \right)$ ) ist das Gegenteil der Variation des Impulses von Körpern (dh

d p

$d\mathbf{p}$ ) abzüglich des Feldimpulses, der durch die Oberfläche geflossen ist

S

$S$ (dh

\oint_{S} D \cdot d a d t

$\oint_S {{\sf{D}}} \cdot d \mathbf{a} dt$ ). Wir schließen die Möglichkeit aus, dass Körper die Oberfläche durchqueren

S

$S$ rechtzeitig

d t

$dt$ , ansonsten sollten wir die Gleichung verallgemeinern, aber wir müssen das nicht tun, wenn wir daran interessiert sind, den Impuls des elektromagnetischen Felds auf einfachere Weise zu berechnen. Nehmen Sie sich Zeit, um über diese Gleichung und diese Überlegungen nachzudenken, und sehen Sie, wie vernünftig sie sind. Dann mach weiter.

Definition des Poynting-Vektors und des Maxwell-Tensors

Später werden wir den Vektor verwenden, den wir hier definieren (eingeführt von John Henry Poynting im Jahr 1884).

S = \frac{E \times B}{μ_{0}}

$\begin{equation} \mathbf{S} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{\mu_0} \end{equation}$

Lassen Sie mich diese Matrix vorstellen, im Moment kann es sich chaotisch anhören, aber später werden Sie sehen, dass wir sie einführen, um ein Chaos zu vermeiden und den Satz auf elegante Weise auszudrücken. Maxwell-Tensor ${\sf{T}}$ wird beschrieben von

T_{ich J} = ϵ_{0} (E_{ich} E_{J} - \frac{1}{2} δ_{ich J} E^{2}) + \frac{1}{μ_{0}} (B_{ich} B_{J} - \frac{1}{2} δ_{ich J} B^{2})

$\begin{equation} T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) +\frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right) \end{equation}$ wo Index

i

$i$ Und

j

$j$ bezieht sich auf drei Koordinaten

x

$x$ ,

y

$y$ Und

z

$z$ (also hat der Tensor insgesamt 9 Komponenten: alle möglichen Kombinationen

T_{x x}

$T_{xx}$ ,

T_{x y}

$T_{xy}$ ,

T_{x z}

$T_{xz}$ ,

T_{y x}

$T_{yx}$ , usw.) und

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ ist das Kronecker-Delta. Explizit könnten wir schreiben (beachten Sie, dass wir, um dies unten zu erhalten, field squared in der Definition durch die Summe der quadrierten Komponenten ersetzen müssen)

Alternativer Divergenzsatz

Gegeben sei ein symmetrisches Matrixfeld ${\sf{M}}$ , definiert in Volumen $V$ umgeben von Oberfläche $S$ , wir haben

\int_{v} (\nabla \cdot M) D τ = \oint_{S} M \cdot D A

$\begin{equation} \int_V (\nabla \cdot {\sf{M}}) d \tau = \oint_S {\sf{M}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ Mit Matrixfeld meinen wir ein Analogon zum Vektorfeld, aber mit Matrizen (jedes Element ist eine Funktion von

(x, y, z, t)

$(x,y,z,t)$ ). Die Analogie zum gewöhnlichen Divergenzsatz ist stark (beachten Sie, dass

\nabla \cdot

$\nabla \cdot$ niedriger um eins die Dimension des Objekts, auf das wir es anwenden). Links erstellen wir ein Volumenintegral von Produkten zwischen einem Vektorfeld und infinitesimalen Volumen, rechts erstellen wir ein Oberflächenintegral von Produkten zwischen einem Matrixfeld und infinitesimalen Oberflächenvektoren. Auf beiden Seiten haben wir eine unendliche Summe von infinitesimalen Vektoren: einen endlichen Vektor.

Beweis des alternativen Divergenzsatzes

Der Beweis dieses alternativen Divergenzsatzes ähnelt dem des gewöhnlichen Divergenzsatzes. Nehmen wir der Einfachheit halber dieses Volumen an $V$ ist das Parallelepiped $(a<x<b, c<y<d, e<z<f)$ . Der Fluss des Matrixfeldes ${\sf{M}}$ durch das Gesicht orthogonal zu $x$ Achse ist

\int_{e}^{F} \int_{C}^{D} M (A, j, z) \cdot [\begin{matrix} - D j D z \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + \int_{e}^{F} \int_{C}^{D} M (B, j, z) \cdot [\begin{matrix} D j D z \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (a,y,z) \cdot \begin{bmatrix} -dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \int_e^f \int_c^d {\sf{M}} (b,y,z) \cdot \begin{bmatrix} dydz \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{equation}$ wo wir verwendet haben

\hat{x} d y d z

$\mathbf{\hat{x}} dy dz$ als Spaltenvektor (hier bedeutet "Hut" Versor). Wenn

M_{1} (x, y, z)

$\mathbf{M}_1 (x,y,z)$ ist das Vektorfeld, das wir erhalten, wenn wir die erste Spalte der Matrix nehmen

M

${\sf{M}}$ , können wir den Fluss auf diese Weise durch die beiden Flächen schreiben

\int_{e}^{F} \int_{C}^{D} [M_{1} (B, j, z) - M_{1} (A, j, z)] D j D z

$\begin{equation} \int_e^f \int_c^d [ \mathbf{M}_1 (b,y,z) - \mathbf{M}_1 (a,y,z) ] dydz \end{equation}$ Integrand ist ein Vektor, der auf diese Weise geschrieben werden kann

[\begin{matrix} M_{X X} (B, j, z) - M_{X X} (A, j, z) \\ M_{j X} (B, j, z) - M_{j X} (A, j, z) \\ M_{z X} (B, j, z) - M_{z X} (A, j, z) \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} M_{xx} (b,y,z) - M_{xx} (a,y,z) \\ M_{yx} (b,y,z) - M_{yx} (a,y,z) \\ M_{zx} (b,y,z) - M_{zx} (a,y,z) \end{bmatrix} \end{equation}$ Und unter Ausnutzung des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung können wir schreiben

[\begin{matrix} \int_{A}^{B} \frac{\partial M_{X X} (X, j, z)}{\partial X} D X \\ \int_{A}^{B} \frac{\partial M_{j X} (X, j, z)}{\partial X} D X \\ \int_{A}^{B} \frac{\partial M_{z X} (X, j, z)}{\partial X} D X \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \int_a^b \frac{\partial M_{xx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{yx} (x,y,z) }{\partial x} dx \\ \int_a^b \frac{\partial M_{zx} (x,y,z) }{\partial x} dx \end{bmatrix} \end{equation}$ Welches ist

\int_{a}^{b} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d x

$\int_a^b \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dx$ . Durch Einsetzen sehen wir, dass der Fluss durch zwei Oberflächen geschrieben werden kann

\int_{V} \frac{\partial M_{1}}{\partial x} d V

$\int_V \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} dV$ . In ähnlicher Weise können wir den Fluss durch andere Seitenpaare finden: Der Gesamtfluss durch das Parallelepiped ist

\int_{v} (\frac{\partial M_{1}}{\partial X} + \frac{\partial M_{2}}{\partial j} + \frac{\partial M_{3}}{\partial z}) D v

$\begin{equation} \int_V \left( \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} \right) dV \end{equation}$ Um den Beweis zu beenden, müssen wir nur noch zeigen, dass der Integrand gleich dem Vektor ist, als den wir symbolisch geschrieben haben

\nabla \cdot M

$\nabla \cdot {\sf{M}}$ . Das heißt, wir müssen das zeigen

\frac{\partial M_{1}}{\partial X} + \frac{\partial M_{2}}{\partial j} + \frac{\partial M_{3}}{\partial z} = [\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} & \frac{\partial}{\partial j} & \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}] [\begin{array}{ccc} M_{1} & M_{2} & M_{3} \end{array}]

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{M}_1}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{M}_2}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{M}_3}{\partial z} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} \left[ \begin{array}{c|c|c} & & \\ \displaystyle \mathbf{M}_1 & \displaystyle \mathbf{M}_2 & \displaystyle \mathbf{M}_3 \\ & & \\ \end{array} \right] \end{equation}$ Auf den ersten Blick sieht das falsch aus, aber

M

${\sf{M}}$ ist nach Hypothese symmetrisch, also funktioniert die Gleichung. Wenn Sie dieser Schlussfolgerung skeptisch gegenüberstehen, hier der Beweis. Im linken Glied haben wir die Summe von drei Vektoren:

[\frac{\partial M_{X X}}{\partial X} + \frac{\partial M_{X j}}{\partial j} + \frac{\partial M_{X z}}{\partial z}, \frac{\partial M_{j X}}{\partial X} + \frac{\partial M_{j j}}{\partial j} + \frac{\partial M_{j z}}{\partial z}, \frac{\partial M_{z X}}{\partial X} + \frac{\partial M_{z j}}{\partial j} + \frac{\partial M_{z z}}{\partial z}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{xz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial z} , \frac{\partial M_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ während wir im zweiten Mitglied das Produkt zwischen einem Vektor haben (wie bei der gewöhnlichen Vektoranalyse ist es nützlich, die Symbolik des Behandelns zu verwenden

\nabla

$\nabla$ als Vektor) und eine Matrix:

[\frac{\partial M_{X X}}{\partial X} + \frac{\partial M_{j X}}{\partial j} + \frac{\partial M_{z X}}{\partial z}, \frac{\partial M_{X j}}{\partial X} + \frac{\partial M_{j j}}{\partial j} + \frac{\partial M_{z j}}{\partial z}, \frac{\partial M_{X z}}{\partial X} + \frac{\partial M_{j z}}{\partial j} + \frac{\partial M_{z z}}{\partial z}]

$\begin{equation} \left[ \frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zx}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zy}}{\partial z} , \frac{\partial M_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial M_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial M_{zz}}{\partial z} \right] \end{equation}$ wenn die Matrix symmetrisch ist (

M_{i j} = M_{j i}

$M_{ij}=M_{ji}$ ) sind diese beiden Ausdrücke identisch. Dies zeigt, dass die vorherige Gleichung eine Identität ist, und der Beweis ist beendet.

Die Berechnung des elektromagnetischen Feldimpulses

Die elektromagnetische Kraft, die auf Volumenladungen wirkt $V$ Ist

F = \int_{v} (E + u \times B) ρ D τ = \int_{v} (ρ E + J \times B) D τ

$\begin{equation} \mathbf{F} = \int_V (\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B}) \rho d \tau = \int_V ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} ) d \tau \end{equation}$ die Kraft pro Volumeneinheit ist

F = ρ E + J \times B

$\begin{equation} \mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \end{equation}$ Unter Ausnutzung der Maxwell-Gleichungen ist es möglich, Quellen zugunsten des Feldes zu eliminieren. Wie das geht, zeige ich dir jetzt. Unter Verwendung der ersten und letzten Maxwell-Gleichung haben wir

F = ϵ_{0} (\nabla \cdot E) E + (\frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial T}) \times B

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 ( \nabla \cdot \mathbf{E} ) \mathbf{E} + \left( \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \times \mathbf{B} \end{equation}$ Jetzt,

\frac{\partial}{\partial T} (E \times B) = (\frac{\partial E}{\partial T} \times B) + (E \times \frac{\partial B}{\partial T})

$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) = \left( \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} \right) + \left( \mathbf{E} \times \frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t} \right) \end{equation}$ Indem wir das Faradaysche Gesetz ausnutzen, können wir also auf diese Weise umordnen

\frac{\partial E}{\partial T} \times B = \frac{\partial}{\partial T} (E \times B) + E \times (\nabla \times E)

$\begin{equation} \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t} \times \mathbf{B} = \frac{\partial }{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \end{equation}$ Ersetzen wir haben

F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E - E \times (\nabla \times E)] - \frac{1}{μ_{0}} [B \times (\nabla \times B)] - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} (E \times B)

$\begin{equation} \mathbf{f} = \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{E}) \right] -\frac{1}{\mu_0} \left[ \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{B}) \right] - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{equation}$ Richtig, um die Dinge symmetrischer zu machen, können wir einen Begriff einwerfen

\frac{1}{μ_{0}} (\nabla \cdot B) B

$\frac{1}{\mu_0} (\nabla \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}$ (es ist dasselbe: Magnetfeld ist Solenoid). Beachten Sie nun, dass die Anwendung auf denselben Vektor erfolgt

A

$\mathbf{A}$ die Vektoridentität

\nabla (A \cdot B) = A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A

$\begin{equation} \nabla (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) + ( \mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{B} + ( \mathbf{B} \cdot \nabla )\mathbf{A} \end{equation}$ erlaubt uns zu schreiben

- A \times (\nabla \times A) = - \frac{1}{2} \nabla (A^{2}) + (A \cdot \nabla) A

$\begin{equation} - \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = - \frac{1}{2} \nabla (A^2) + (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{A} \end{equation}$ All dies ermöglicht es uns, die vorherige Gleichung auf diese Weise zu schreiben

\begin{aligned} F = & ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E] - \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} (E \times B) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \mathbf{f} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \end{split} \end{equation}$ Trotz Symmetrien ist dieser Ausdruck hässlich. Schönheit regiert im Grundgesetz der Natur, also muss es möglich sein, die Gleichung besser und klarer zu schreiben. Zu unserer Rettung kommt der Maxwell-Tensor, den wir zuvor geschrieben haben, und die Idee, den Operator zu verwenden

\nabla

$\nabla$ als ob es ein Vektor wäre. Skalarprodukt zwischen machen

\nabla

$\nabla$ und Maxwell-Tensor erhalten wir das zweite Glied der oben geschriebenen Gleichung (kleiner als Term mit Zeitableitung)

\begin{aligned} \nabla \cdot T = & ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E] - \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] \\ - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \nabla \cdot {\sf{T}} = & \epsilon_0 \left[ (\nabla \cdot \mathbf{E}) \mathbf{E} + (\mathbf{E} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \right] - \frac{1}{\mu_0} \left[ (\nabla \cdot \mathbf{B}) \mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla ) \mathbf{B} \right] \\ & - \frac{1}{2} \nabla \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) \end{split} \end{equation}$ Lassen Sie uns überprüfen, ob dies wahr ist: Wir werden nur auf das achten

x

$x$ koordinieren (aus symmetrischen Gründen funktionieren auch andere Koordinaten). Der

x

$x$ Koordinate des zweiten Elements der obigen Gleichung ist

\begin{aligned} ϵ_{0} [(\frac{\partial E_{X}}{\partial X} + \frac{\partial E_{j}}{\partial j} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z}) E_{X} + E_{X} \frac{\partial E_{X}}{\partial X} + E_{j} \frac{\partial E_{X}}{\partial j} + E_{z} \frac{\partial E_{X}}{\partial z}] \\ + \frac{1}{μ_{0}} [(\frac{\partial B_{X}}{\partial X} + \frac{\partial B_{j}}{\partial j} + \frac{\partial B_{z}}{\partial z}) B_{X} + B_{X} \frac{\partial B_{X}}{\partial X} + B_{j} \frac{\partial B_{X}}{\partial j} + B_{z} \frac{\partial B_{X}}{\partial z}] \\ - \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial (E_{X}^{2} + E_{j}^{2} + E_{z}^{2})}{\partial X} - \frac{1}{2 μ_{0}} \frac{\partial (B_{X}^{2} + B_{j}^{2} + B_{z}^{2})}{\partial X} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \epsilon_0 \left[ \left( \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \right) E_x + E_x \frac{\partial E_x}{\partial x} + E_y \frac{\partial E_x}{\partial y} + E_z \frac{\partial E_x}{\partial z} \right] \\ & + \frac{1}{\mu_0} \left[ \left( \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) B_x + B_x \frac{\partial B_x}{\partial x} + B_y \frac{\partial B_x}{\partial y} + B_z \frac{\partial B_x}{\partial z} \right] \\ & - \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 + E_y^2 + E_z^2)}{\partial x} - \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2)}{\partial x} \end{split} \end{equation}$ Während

x

$x$ Koordinate des ersten Mitglieds (also das "Skalarprodukt" zwischen

\nabla

$\nabla$ und die erste Spalte des Maxwell-Tensors ist)

\begin{aligned} \frac{ϵ_{0}}{2} \frac{\partial (E_{X}^{2} - E_{j}^{2} - E_{z}^{2})}{\partial X} + \frac{1}{2 μ_{0}} \frac{\partial (B_{X}^{2} - B_{j}^{2} - B_{z}^{2})}{\partial X} \\ + ϵ_{0} \frac{\partial (E_{X} E_{j})}{\partial j} + \frac{1}{μ_{0}} \frac{\partial (B_{X} B_{j})}{\partial j} - ϵ_{0} \frac{\partial (E_{X} E_{z})}{\partial z} + \frac{1}{μ_{0}} \frac{\partial (B_{X} B_{z})}{\partial z} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & \frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial (E_x^2 - E_y^2 - E_z^2)}{\partial x} + \frac{1}{2 \mu_0} \frac{\partial (B_x^2 - B_y^2 - B_z^2)}{\partial x} \\ & + \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_y)}{\partial y} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_y)}{\partial y} - \epsilon_0 \frac{ \partial ( E_x E_z)}{\partial z} + \frac{1}{\mu_0} \frac{ \partial ( B_x B_z)}{\partial z} \end{split} \end{equation}$ Der Leser kann leicht überprüfen, ob die beiden Terme gleich sind (der Einfachheit halber können wir uns wegen der Symmetrie beispielsweise nur auf ein Feld konzentrieren

E

$E$ ). Jetzt sind wir bereit, die "hässliche" Gleichung schön und kompakt zu schreiben:

F = - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial S}{\partial T} + \nabla \cdot T

$\begin{equation} \mathbf{f} = - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} + \nabla \cdot {\sf{T}} \end{equation}$ wobei wir auch den Poynting-Vektor verwendet haben. Ausbeutung

c = \frac{1}{\sqrt{ϵ_{0} μ_{0}}}

$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$ und Integration über das Volumen, das wir haben

\frac{D P}{D T} = - \frac{D}{D T} \int_{v} \frac{S}{C^{2}} D τ + \oint_{S} T \cdot D A

$\begin{equation} \frac{d\mathbf{p}}{dt} = - \frac{d}{dt} \int_V \frac{\mathbf{S}}{c^2} d \tau +\oint_S {\sf{T}} \cdot d \mathbf{a} \end{equation}$ wo wir das "Alternative Divergenztheorem" ausgenutzt haben. Kommen Sie nun auf das zurück, was ich im Abschnitt "Eine interessante Art, die Impulserhaltung zu beschreiben" geschrieben habe, und bedenken Sie: Der Beweis ist beendet:

Impulsdichte: $\frac{\mathbf{S}}{c^2}$
Impulsstromdichte: $- {\sf{T}}$

Warum ist der Maxwell-Tensor nicht mit umgekehrtem Vorzeichen definiert? Wahrscheinlich ist dies auf eine unglückliche historische Konvention zurückzuführen. Wenn wir den Feldimpuls als Funktion von Feldern ausdrücken wollen, haben wir offensichtlich Dies kann ausgenutzt werden, um zu zeigen, dass wir für elektromagnetische Wellen haben $E=pc$ (Es ist nicht so, dass dies die gleiche Verbindung zwischen Energie und Impuls ist, die wir für extrem relativistische Teilchen haben).

Ein abschließender Kommentar

Beachten Sie, dass das, was wir gefunden haben, an Abstraktion leidet und Probleme aufwirft: Dieser Impulssatz (wie auch der Satz von Poynting) ist allgemein, nicht nur für elektromagnetische Wellen: Wir haben keine spezielle Hypothese über die Natur des Feldes aufgestellt (die einzige ist, dass die Feld gehorchen den Maxwell-Gleichungen). Dies führte zu sehr interessanten (aber auch sehr komplizierten!) Problemen im Zusammenhang mit verstecktem Momentum. Wie wir in der Physik oft sehen, stehen Sie jedes Mal, wenn Sie ein Problem lösen, vor schwierigeren Problemen und seltsamen (und damit interessanten) Reflexionspunkten über das große Rätsel.

Vielen Dank für Ihre sorgfältige Antwort. Wie man sieht, habe ich die Frage vor gut fünf Jahren gestellt, als ich gerade mein Abitur gemacht hatte :') Ich hoffe, dass diese Antwort für andere Benutzer hilfreich ist, die auf diesen Beitrag stoßen. Für einen solchen Leser möchte ich darauf hinweisen, dass, obwohl die Differentialrechnung von Griffiths manchmal abstrakt sein kann, Feynman-Vorlesungen diesbezüglich eine sehr schöne Intuition vermitteln. Auch eher subtile Themen wie die Einzigartigkeit der Ausdrücke für das Feld Impuls/Energie, das von Ihnen erwähnte Paradoxon des verborgenen Impulses usw. werden in Feynman-Vorlesungen ebenfalls gut diskutiert.
Ich habe diesen "alternativen" Divergenzsatz im Cengel-Cimbala-Buch über Strömungsmechanik gefunden, wo er als erweiterter Divergenzsatz bezeichnet wird. Es stellt sich heraus, dass es auch in der Strömungsmechanik sehr nützlich ist: Es führt zur Cauchy-Gleichung. Schade, dass diesem Theorem in der Literatur nicht die gebührende Bedeutung beigemessen wird. Ich fand es zum ersten Mal in einem Buch, Jahre nachdem ich es mir selbst bewiesen hatte, was für eine Zeitverschwendung! Sie sprechen vom gewöhnlichen Divergenzsatz bis zum Erbrechen, aber niemand spricht vom erweiterten.

Daniel Shaper · Answer 3

Abschnitt 6.7 von Jackson gibt eine gute Erklärung.

Ein elektromagnetisches Feld kann die mechanische Energie, den linearen Impuls und den Drehimpuls einer Ansammlung von Ladungen verändern. Insbesondere die Impulsänderung ist durch das Lorentzkraftgesetz gegeben

$\mathbf F = q(\mathbf E +\mathbf v\times\mathbf B)$ ,

oder, für eine kontinuierliche Ladungsverteilung, die Kraftdichte ist

$\mathbf f = \rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$ .

Diese Ladungen haben jedoch ihre eigenen elektromagnetischen Felder. Durch die Änderung des linearen Impulses der Ladungen ändern sich ihre elektromagnetischen Felder. Lassen $\mathbf P$ sei die mechanische Impulsdichte der Ladungen; Durch einige langwierige Berechnungen mit der letzten Gleichung, den Maxwell-Gleichungen und einer Reihe von Vektorrechnungsidentitäten kann man das zeigen

$\frac{d}{dt}\left(\mathbf P+\frac{\mathbf E\times \mathbf B}{c^2}\right) =$ Divergenz des Maxwell-Spannungstensors.

Wenn die Felder im Unendlichen ausreichend schnell gegen Null gehen, können Sie diese Gleichung über den gesamten Raum integrieren, und die rechte Seite geht nach dem Divergenzsatz gegen Null. Der gesamte mechanische Impuls + etwas ist also eine Erhaltungsgröße. Es ist vernünftig zu postulieren, dass dieses "etwas", $\mathbf E\times \mathbf B/c^2$ , ist der Impuls des elektromagnetischen Feldes.

Die gleiche Analyse kann durchgeführt werden, indem das mechanische Drehmoment auf die Ladungsanordnung untersucht wird, um den elektromagnetischen Drehimpuls zu finden.

Schließlich können Sie dies auf einer etwas abstrakteren Ebene betrachten. In der klassischen Mechanik können Sie den Satz von Noether verwenden, um die Erhaltung von Energie, linearem Impuls und Drehimpuls abzuleiten, indem Sie die Invarianz der Lagrangefunktion gegenüber Translationen in Zeit und Raum bzw. gegenüber Rotationen ausnutzen. Auch die Lagrange-Funktion für das elektromagnetische Feld ist gegenüber diesen Transformationen unveränderlich; die resultierenden Erhaltungsgrößen sind Feldenergie, Impuls und Drehimpuls.

JumpArtist · Answer 4

Der Drehimpuls folgt der Existenz des linearen Impulses. Quid linearer Impuls dann?

Ich biete die folgende Sichtweise ohne Mathematik an.

Die bekannte experimentelle Tatsache, dass Licht mechanische Eigenschaften besitzt, lässt sich zusammen mit dem Relativitätsprinzip auf den Energieerhaltungssatz zurückführen.

Es gibt a priori verschiedene Möglichkeiten, Energie zu sparen. Zum Beispiel: Was an Punkt A zerstört wird, kann überall an Punkt B augenblicklich wieder auftauchen, so dass die gesamte Energie im Universum erhalten bleibt.

Der Begriff "sofort" ist jedoch relativ zum Beobachter und ein anderer in einem sich bewegenden Rahmen wird die beiden Ereignisse nicht gleichzeitig sehen und das Energieerhaltungsprinzip würde für ihn verletzt. Um auch die Konzepte hinter dem Relativitätsprinzip zu erfüllen, kann elektromagnetische Energie daher nicht global, sondern lokal konserviert werden, was bedeutet, dass das, was in A verschwunden ist, durch die infinitesimalen Grenzen um A fließen muss, dies ist die Essenz von Poyntings Theorem. Und dieser Energiefluss ist, kurz gesagt, ein linearer Impuls. In der Relativitätstheorie sind Impuls (Raum) und Energie (Zeit) zwei Komponenten derselben physikalischen Größe (Energie-Impuls-Viervektor).

Benutzer280564 · Answer 5

Das lässt sich recht einfach demonstrieren. Angenommen, wir haben zwei Kondensatoren in einer Box. Wir laden einen vollständig auf, während wir den anderen entladen lassen. Dann entladen wir den ersten, verwenden seine Energie, um einen Laser anzutreiben, und verwenden einen Impuls des Lasers, um Energie zum Aufladen des anderen bereitzustellen. Weil $E=mc^2$ , hat sich der Schwerpunkt des Kastens relativ zu einer festen Markierung auf dem Kasten verändert. Der Massenschwerpunkt kann sich aufgrund der Impulserhaltung nicht wirklich bewegen, daher muss es einen Rückstoß des Sendelasers geben, der auf die Box übertragen wird.

Wie enthalten die elektrischen oder magnetischen Felder Impuls?

youpilat13

Emilio Pisanty

Antworten (5)

Emilio Pisanty

Fausto Vezzaro

Impulsstromdichte

Eine interessante Art, die Impulserhaltung zu beschreiben

Definition des Poynting-Vektors und des Maxwell-Tensors

Alternativer Divergenzsatz

Beweis des alternativen Divergenzsatzes

Die Berechnung des elektromagnetischen Feldimpulses

Ein abschließender Kommentar

youpilat13

Fausto Vezzaro

Daniel Shaper

JumpArtist

Benutzer280564

Probleme mit dem Lorentz-Kraftgesetz: Inkompatibilität mit spezieller Relativitätstheorie und Impulserhaltung?

Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

Versteckter Schwung

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