Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

Question

Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

qfzklm

Hier ist eine Frage zum kanonischen Momentum, die ich vor einigen Tagen gestellt hatte, aber ich habe immer noch einen Punkt, den ich nicht verstehe.

Betrachten wir ein Teilchen, das sich in einem Magnetfeld mit Ladung bewegt $q$ und Masse $m$ , sein Hamiltonian ist

H = \frac{{\vec{P}}^{2}}{2 M} = \frac{(\vec{P} + Q \vec{A})^{2}}{2 M}

$H=\frac{\vec{P}^2}{2m}=\frac{(\vec{p}+q\vec{A})^2}{2m}$ Wo

\vec{p}

$\vec{p}$ ist der Impuls des Teilchens,

\vec{A}

$\vec{A}$ ist das Vektorpotential des Magnetfelds und

\vec{P}

$\vec{P}$ ist der kanonische Impuls des Teilchens.

Ich denke, aufgrund des Ausdrucks des Hamiltonschen, des kanonischen Impulses $\vec{P}$ ist eine Erhaltungsgröße.

Aber durch die Antwort im vorherigen Link scheint der kanonische Impuls nicht einmal in einem einfachen Beispiel erhalten zu bleiben, in dem sich ein Teilchen in einem homogenen Magnetfeld bewegt.

Ich bin verwirrt über diese Frage. Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

Karl Witthöft

Aber warum denkst du das? - Nicht, dass Ihre verknüpfte Frage eine sehr klare Antwort hätte. Ich würde in L & L oder ähnlichen Lehrbüchern nach Details suchen, anstatt die Frage nur erneut zu stellen.

qfzklm

@CarlWitthoft

H = \frac{P^{2}}{2 m}

$H=\frac{P^2}{2m}$ Und

[P, H] = 0

$[P,H]=0$ , Ich finde

P

$P$ wird konserviert. Übrigens, ich habe dieses Buch nicht und mein Lehrbuch behandelt diese oder ähnliche Fragen nicht. Können Sie mir weitere Einzelheiten mitteilen?

Kyle Kanos

mögliches Duplikat von Eine Frage zum kanonischen Impuls und zur Willkür des Potentials im Magnetismus

Ján Lalinský

qfzklm, du hast es falsch verstanden. Die Hamilton-Funktion für Teilchen im Magnetfeld ist

H (\vec{p}, \vec{r}) = \frac{(\vec{p} - q \vec{A} (\vec{r}))^{2}}{2 m}

$H(\vec p, \vec r) = \frac{(\vec p - q\vec A(\vec r))^2}{2m}$ , und Kleinbuchstaben

\vec{p}

$\vec p$ wird als kanonischer Impuls bezeichnet, während er in Großbuchstaben geschrieben wird

\vec{P} = \vec{p} - q \vec{A}

$\vec P = \vec p - q\vec A$ ist kinetischer Impuls (

m \vec{v}

$m\vec v$ ).

qfzklm

@JánLalinský Vielen Dank, und ich muss mich bei allen für meinen Fehler entschuldigen.

Antworten (6)

Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

Aber warum denkst du das? - Nicht, dass Ihre verknüpfte Frage eine sehr klare Antwort hätte. Ich würde in L & L oder ähnlichen Lehrbüchern nach Details suchen, anstatt die Frage nur erneut zu stellen.
@CarlWitthoft $H=\frac{P^2}{2m}$ Und $[P,H]=0$ , Ich finde $P$ wird konserviert. Übrigens, ich habe dieses Buch nicht und mein Lehrbuch behandelt diese oder ähnliche Fragen nicht. Können Sie mir weitere Einzelheiten mitteilen?
mögliches Duplikat von Eine Frage zum kanonischen Impuls und zur Willkür des Potentials im Magnetismus
qfzklm, du hast es falsch verstanden. Die Hamilton-Funktion für Teilchen im Magnetfeld ist $H(\vec p, \vec r) = \frac{(\vec p - q\vec A(\vec r))^2}{2m}$ , und Kleinbuchstaben $\vec p$ wird als kanonischer Impuls bezeichnet, während er in Großbuchstaben geschrieben wird $\vec P = \vec p - q\vec A$ ist kinetischer Impuls ( $m\vec v$ ).
@JánLalinský Vielen Dank, und ich muss mich bei allen für meinen Fehler entschuldigen.

Rokoko · Answer 1

Wie Jan bemerkte, sollte der Hamiltonian ein Minuszeichen haben:

$H=\frac{(p-qA)^2}{2m}$

Wo $p$ ist der kanonische Impuls und der Ausdruck $p-qA$ ist der kinetische Impuls $P$ .

Ein homogenes Magnetfeld ist ein interessanter Fall, da das Vektorpotential in einem bestimmten Messgerät keine Translationsinvarianz aufweist, das physikalische System jedoch eindeutig. Die Lösung für dieses Dilemma besteht darin, dass Sie die Translationsinvarianz bewahren können, indem Sie das Messgerät ändern, während Sie die Koordinaten verschieben.

Mit dieser Symmetrie ist eine Erhaltungsgröße verbunden, aber es stellt sich heraus, dass es sich nicht um den kanonischen Impuls (oder auch den kinetischen Impuls) handelt. Ich weiß nicht, ob es einen bestimmten Namen hat, und da es messgeräteabhängig ist, gibt es keinen universellen Ausdruck, den Sie dafür schreiben können. Aber zum Beispiel in der Spurweite wo $A=\frac{B}{2}(-y,x)$ , es ist nur $(p+qA)$ . Wenn jemand einen Einblick in eine physikalische Interpretation dieser Größe hat, wäre ich daran interessiert, davon zu hören.

Es gibt ein sehr schönes Beispiel von all dem, konkret ausgearbeitet, in diesen Notizen .

Urgje · Answer 2

Vielleicht hilft ein Beispiel. Lassen $B$ ein konstantes Magnetfeld sein. Dann können wir nehmen $A=\frac12B×x$ . Jetzt

\frac{(P + Q A)^{2}}{2 M} = \frac{P^{2}}{2 M} + \frac{Q}{2 M} (P \cdot A + A \cdot P) + \frac{Q^{2} A^{2}}{2 M},

$\frac{(p+qA)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}+\frac{q}{2m}(p⋅A+A⋅p)+\frac{q^2A^2}{2m},$ Und

P \cdot A + A \cdot P = l \cdot B

$p⋅A+A⋅p=l⋅B$ Wo

l = x \times p

$l=x×p$ . Daher

\frac{(P + Q A)^{2}}{2 M} = \frac{P^{2}}{2 M} + \frac{Q}{2 M} l \cdot B + \frac{Q^{2} A^{2}}{2 M} .

$\frac{(p+qA)^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}+\frac{q}{2m}l⋅B+\frac{q^2A^2}{2m}.$ Hier erkennen wir die

l \cdot B

$l⋅B$ -Term als Zeeman-Term.

Wenn wir nun die Ableitung von berechnen $p$ entsprechend

\frac{D P}{D T} = ich [P, H],

$\frac{dp}{dt}=i[p,H],$ dann erhalten wir die Lorentzkraft.
Dies ist die Quantenversion. Im klassischen Fall wird der Kommutator durch die Poisson-Klammer ersetzt.

Sie können verwenden, \frac{a}{b}um zu bekommen $\frac{a}{b}$ , anstatt zu verwenden /. Ich habe mir die Freiheit genommen, Ihre Antwort zu ändern, um dies zu verwenden. Ich hoffe, es macht Ihnen nichts aus.
@KyleKanos. Vielen Dank für die Änderung. Ich bin nicht sehr gut in der LaTeX-Bearbeitung.

Benutzer41025 · Answer 3

Diese Frage ist gut beantwortet, aber lassen Sie mich noch einen Punkt hinzufügen.

Die Newtonsche Bewegungsgleichung kann in folgender Form geschrieben werden:

\frac{D}{D T} (\vec{P} + Q \vec{A}) = - Q \nabla (ϕ - \vec{v} \cdot \vec{A})

$\frac{d}{dt}(\vec p + q\vec A) = -q\nabla(\phi - \vec v\cdot\vec A)$ Hier

\vec{p} = γ m \vec{v}

$\vec p = \gamma m \vec v$ ist der kinetische Impuls.

ϕ

$\phi$ ist das elektrische Potential.

\vec{P} \equiv \vec{p} + q \vec{A}

$\vec P \equiv \vec p + q \vec A$ ist der kanonische Impuls. Aus dieser Gleichung wird deutlich, dass der kanonische Impuls nur erhalten bleibt, wenn der Gradient des verallgemeinerten Potentials

ϕ - \vec{v} \cdot \vec{A}

$\phi - \vec v\cdot\vec A$ ist Null.

Wie die vorherigen Antworten zeigten, gibt es im einheitlichen Magnetfeld aufgrund der Translationsinvarianz des Systems eine Erhaltungsgröße. Diese Größe ist in der Literatur als Pseudoimpuls bekannt :

\vec{K} = \vec{P} + 2 Q \vec{A} = \vec{P} + Q \vec{A}

$\vec K = \vec p + 2q\vec A = \vec P + q \vec A$ Sie können dies überprüfen, indem Sie die zeitliche Ableitung von nehmen

\vec{K}

$\vec K$ .

Jinawee · Answer 4

Hinweis: $P$ ist erhalten , wenn sie nicht explizit zeitabhängig ist und wenn ihre Poisson-Klammer mit dem Hamilton-Operator Null ist.

Sie müssen also nur Folgendes überprüfen:

{P, H} = 0

$\{P,H \}=0$

ZachMcDargh · Answer 5

Hamiltons Gleichungen besagen $\dot{P_i} = -\frac{\partial H}{\partial q^i}.$ In diesem Fall ist dies

$\dot{P_i} = -\frac{\partial H}{\partial q^i} = -\frac{\vec{P}}{m} \cdot \frac{\partial \vec{A}}{\partial q^i}.$

Der kanonische Impuls bleibt also nicht erhalten.

Carl hat auf die Hauptsache hingewiesen. Der Impuls bleibt im Allgemeinen nur so lange erhalten, wie das Potential (sei es Vektor oder Skalar) gleichförmig ist. Wir können nicht erwarten, dass der Impuls in einem gleichmäßigen Magnetfeld erhalten bleibt, ebenso wenig wie wir erwarten können, dass er in einem gleichmäßigen elektrischen Feld erhalten bleibt.

Sergio Lantzmann · Answer 6

Der kanonische (Gesamt-)Impuls ist die Summe aus dem kinetischen (mechanischen) Impuls und dem potentiellen Impuls. Potenzieller Impuls tritt nur auf, wenn die potentielle Energie explizit von der Geschwindigkeit abhängt. Betrachten Sie einen viel einfacheren Fall: Ein Teilchen fällt in konstanter Schwerkraft herunter. Die potentielle Energie hängt nur von der Höhe ab. Es gibt kein potenzielles Momentum. Der kanonische Impuls ist nur der mechanische Impuls, der offensichtlich nicht konstant ist. Sie nimmt zu, wenn das Teilchen fällt.

Bleibt der kanonische Impuls erhalten, wenn sich ein Teilchen im Magnetfeld bewegt?

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