Äquivalenz zwischen Lorenz-Eichung und Kontinuitätsgleichung

Question

Äquivalenz zwischen Lorenz-Eichung und Kontinuitätsgleichung

Messgerät
Physik
Elektromagnetismus
Erhaltungsgesetze
Klassische Elektrodynamik

Benutzer2723984

Ich möchte zeigen, dass die Lorenz-Spur Zustand ist

\nabla \cdot A + \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial Φ}{\partial T} = 0,

$\nabla\cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t}~~=~~0 \,,$ Wo

A

$\mathbf{A}$ Und

Φ

$\Phi$ das Vektor- und Skalarpotential des elektromagnetischen Feldes sind, entspricht der Kontinuitätsgleichung

\nabla \cdot J + \frac{\partial ρ}{\partial T} = 0,

$\nabla \cdot \mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}~~=~~0 \,,$ Wo

J

$\mathbf{J}$ ist der elektrische Strom und

ρ

$\rho$ die Ladungsdichte unter Verwendung des allgemeinen Ausdrucks des Potentials unter Verwendung verzögerter Green-Funktionen

\begin{aligned} Φ & = & \frac{1}{4 π ε_{0}} & \int D^{3} X^{'} \frac{ρ (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ A & = & \frac{μ_{0}}{4 π} & \int D^{3} X^{'} \frac{J (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} \Phi & ~~=~~ & \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} & \int \mathrm{d}^3x' \frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|} \\ \mathbf{A} & ~~=~~ & \frac{\mu_0}{4\pi} & \int \mathrm{d}^3x' \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|} \end{alignat}$

Mein erster Instinkt ist, einfach den Ausdruck des Potentials in die Lorenz-Eichweite zu stecken, was nachgibt

\begin{aligned} \nabla \cdot A + \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial Φ}{\partial T} & = & \frac{μ_{0}}{4 π} \int D^{3} X^{'} \nabla_{X} \cdot \frac{J (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ + & \frac{μ_{0}}{4 π} \int D^{3} X^{'} \frac{\partial}{\partial T} \frac{ρ (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ = & \frac{μ_{0}}{4 π} {(\begin{aligned} \int D^{3} X^{'} \frac{\nabla_{X} \cdot J (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \\ - & \int D^{3} X^{'} J (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |) \cdot \frac{X - X^{'}}{{| X - X^{'} |}^{3}} \\ + & \int D^{3} X^{'} \frac{\partial}{\partial T} \frac{ρ (X^{'}, T - \frac{1}{C} | X - X^{'} |)}{| X - X^{'} |} \end{aligned})}_{,} \end{aligned}

$\begin{alignat}{7} \nabla\cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\Phi}{\partial t} & ~~=~~ && \frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3x' \nabla_{\mathbf{x}}\cdot\frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|} \\ && ~~+~~ & \frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathrm{d}^3x' \frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|} \\ \\ &~~=~~&&\frac{\mu_0}{4\pi} % \left( \begin{array}{rl} & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \frac{\nabla_{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|\right)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}}} \\ - & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \mathbf{J}\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)\cdot\frac{\mathbf{x}-\mathbf{x'}}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|^3}}} \\ + & \displaystyle{\int{\mathrm{d}^3x' \frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho\left(\mathbf{x'},t-\frac{1}{c}\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|\right)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}}} \end{array} \right)_{\Large{,}} \end{alignat}$ verwenden

\nabla \cdot ψ A = ψ \nabla \cdot A + A \cdot \nabla ψ .

$\nabla \cdot \psi \mathbf{A} ~~=~~ \psi \nabla\cdot \mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\nabla\psi \,.$

Nun, der erste und der letzte Term im letzten Ausdruck sind die Kontinuitätsgleichung, aber dieser mittlere Term ruiniert alles. Ich verstehe nicht, warum es Null sein sollte, und wenn es nicht sein sollte, wo ich falsch liege.

Garyp

Was fehlt mir hier. Sie können nicht gleichwertig sein. Die Kontinuitätsgleichung muss gelten, die Lorenz-Bedingung jedoch nicht.

Benutzer2723984

Ich kann deinen Punkt verstehen. Dies ist, was eine Übungsserie von mir verlangt. Das ist der Ausdruck der Potentiale bei homogenen Randbedingungen im leeren Raum, also vermute ich, dass in diesem einfachen Fall die Äquivalenz gilt?

AccidentalFourierTransform

Mögliches Duplikat der Lorenz-Gauge-Bedingung sicherstellen in der grünen Funktionslösung

AccidentalFourierTransform

~~=~~Hallo @Nat, mir ist aufgefallen, dass du in letzter Zeit Gleichungen bearbeitet hast . Irgend ein bestimmter Grund? Es sieht nicht gut aus, und es ist keine empfohlene Praxis.

Nat

@AccidentalFourierTransform Meistens nur, um sie zu verteilen. Ich versuche, Ausdrücke räumlich näher an denen zu halten, mit denen sie beim Parsen zuerst interagieren, sodass Operanden mit niedriger Priorität von Operationen wie dazu =neigen, mehr Abstand um sie herum zu bekommen. \quadIch denke, dass die meisten Leute dazu neigen, oder zu verwenden \qquad, aber ~~es scheint mir einfach ein bisschen sauberer und anpassbarer zu sein. Wenn es daneben aussieht, ist die Sorge, dass es nicht genug oder zu viel Abstand gibt?

AccidentalFourierTransform

@Nat Hmm Ich glaube nicht, dass die Leute das Schild verwenden \quadoder um es herum , zumindest nicht sehr oft. Der herkömmliche Abstand um das Schild herum ist derjenige, der automatisch generiert wird. Es wird davon abgeraten, zusätzliche Leerzeichen einzufügen. Es ist in Ordnung, wenn Sie solche Abstände in Ihre Gleichungen aufnehmen möchten, aber ich denke nicht, dass Sie sie in die Gleichungen anderer Leute einfügen sollten. Ich zum Beispiel möchte nicht, dass Leute meine Posts so bearbeiten, dass sie einen unkonventionellen und eigenwilligen Stil enthalten. \qquad==

Nat

@AccidentalFourierTransform Ja, es wäre nicht meine Absicht, einen Stil aufzudrängen, den jemand nicht mag. Ich muss mich bei Konventionen erkundigen; Ich hatte nicht den Eindruck, dass dies ungewöhnlich war oder seltsam aussah.

Benutzer2723984

Ich verstehe nicht, warum diese Frage, die ich vor einigen Monaten gestellt habe und die weitgehend ignoriert wurde, wegen eines "möglichen Duplikats" mit einem Link zu einer Frage, die für mich nicht so aussieht, als hätte sie etwas mit meiner zu tun (ich möchte nicht überprüfen, ob die Lösungen immer noch die Lorenz-Eichbedingung erfüllen, bitte lesen Sie meine Frage noch einmal!), außerdem wurde die Frage ohne ersichtlichen Grund geändert, und jetzt ist die Notation mehrdeutig und es sieht so aus, als ob ich in der letzten Gleichung einen Skalar einem Vektor gleichsetze. Mit freundlichen Grüßen, was zum Teufel?

Antworten (2)

Äquivalenz zwischen Lorenz-Eichung und Kontinuitätsgleichung

Was fehlt mir hier. Sie können nicht gleichwertig sein. Die Kontinuitätsgleichung muss gelten, die Lorenz-Bedingung jedoch nicht.
Ich kann deinen Punkt verstehen. Dies ist, was eine Übungsserie von mir verlangt. Das ist der Ausdruck der Potentiale bei homogenen Randbedingungen im leeren Raum, also vermute ich, dass in diesem einfachen Fall die Äquivalenz gilt?
Mögliches Duplikat der Lorenz-Gauge-Bedingung sicherstellen in der grünen Funktionslösung
~~=~~Hallo @Nat, mir ist aufgefallen, dass du in letzter Zeit Gleichungen bearbeitet hast . Irgend ein bestimmter Grund? Es sieht nicht gut aus, und es ist keine empfohlene Praxis.
@AccidentalFourierTransform Meistens nur, um sie zu verteilen. Ich versuche, Ausdrücke räumlich näher an denen zu halten, mit denen sie beim Parsen zuerst interagieren, sodass Operanden mit niedriger Priorität von Operationen wie dazu =neigen, mehr Abstand um sie herum zu bekommen. \quadIch denke, dass die meisten Leute dazu neigen, oder zu verwenden \qquad, aber ~~es scheint mir einfach ein bisschen sauberer und anpassbarer zu sein. Wenn es daneben aussieht, ist die Sorge, dass es nicht genug oder zu viel Abstand gibt?
@Nat Hmm Ich glaube nicht, dass die Leute das Schild verwenden \quadoder um es herum , zumindest nicht sehr oft. Der herkömmliche Abstand um das Schild herum ist derjenige, der automatisch generiert wird. Es wird davon abgeraten, zusätzliche Leerzeichen einzufügen. Es ist in Ordnung, wenn Sie solche Abstände in Ihre Gleichungen aufnehmen möchten, aber ich denke nicht, dass Sie sie in die Gleichungen anderer Leute einfügen sollten. Ich zum Beispiel möchte nicht, dass Leute meine Posts so bearbeiten, dass sie einen unkonventionellen und eigenwilligen Stil enthalten. \qquad==
@AccidentalFourierTransform Ja, es wäre nicht meine Absicht, einen Stil aufzudrängen, den jemand nicht mag. Ich muss mich bei Konventionen erkundigen; Ich hatte nicht den Eindruck, dass dies ungewöhnlich war oder seltsam aussah.
Ich verstehe nicht, warum diese Frage, die ich vor einigen Monaten gestellt habe und die weitgehend ignoriert wurde, wegen eines "möglichen Duplikats" mit einem Link zu einer Frage, die für mich nicht so aussieht, als hätte sie etwas mit meiner zu tun (ich möchte nicht überprüfen, ob die Lösungen immer noch die Lorenz-Eichbedingung erfüllen, bitte lesen Sie meine Frage noch einmal!), außerdem wurde die Frage ohne ersichtlichen Grund geändert, und jetzt ist die Notation mehrdeutig und es sieht so aus, als ob ich in der letzten Gleichung einen Skalar einem Vektor gleichsetze. Mit freundlichen Grüßen, was zum Teufel?

Julio Moros · Answer 1

Sie versuchen, das Richtige mit den falschen Annahmen zu beweisen.

Die Kontinuitätsgleichung und die Lorentz-Eichgleichung beschreiben, was am Ort und zur Zeit der Quelle passiert, während die durch die retardierten Green-Integrale gegebenen Potentiale beschreiben, was ein Beobachter weit entfernt von der Ortszeit der Quelle misst. Diese beiden Gleichungspaare können also nicht direkt ineinander eingesetzt werden, da sie nicht direkt miteinander verbunden sind.

Für einen eleganten Beweis, dass die Lorentz-Bedingung eine direkte Folge der Kontinuitätsgleichung ist, werfen Sie einen Blick in Abschnitt 14-5 (The Hertz Potential) des Buches: "Classical Electricity and Magnetism" von Wolfgang Panofsky und Melba Phillips.

Heutzutage wird sie als Lorenz-Bedingung bezeichnet , nicht als Lorentz-Bedingung.
In Abschnitt 14-5 konnte ich keinen solchen Beweis finden. Was sie sagen ist, dass, wenn angenommen wird, dass Potentiale durch die verzögerten Lösungen der Wellengleichungen gegeben sind, dies zusammen mit der Kontinuitätsgleichung die Lorenz-Bedingung impliziert. Aber die Wellengleichung und die verzögerten Lösungen werden normalerweise unter der Annahme der Lorenz-Bedingung hergeleitet, also ist das ein Zirkelbeweis.

Verdelit · Answer 2

In Griffiths 'Lehrbuch "Einführung in die Elektrodynamik" (dritte Ausgabe) lautet Problem 10.8 "Bestätigen Sie, dass die verzögerten Potentiale die Loren(t)z-Eichbedingung erfüllen". Die Lösung ist online verfügbar (suchen Sie nach „Einführung in das Handbuch zur Elektrodynamik-Lösung David Griffiths“). Ein Vergleich der Lösung von Griffiths mit Ihrer ergab, dass der erste und der letzte Term Ihres letzten Ausdrucks nicht die Kontinuitätsgleichung waren, wie Julio Moros in seiner Antwort betonte.

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Garyp

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