Der beste Weg, dies zu sehen, ist also, dass Sie ableiten werden$\vec A(\vec x, t)$aus den Gleichungen, die Sie wollen, in erster Linie. Also müssen wir mit den Gleichungen beginnen, die wir wollen.

Welche Gleichungen wollen wir?

Die Maxwell-Gleichungen lauten:

$$\begin{array}{ll} \nabla\cdot E=\rho/\epsilon_0 & ~~~\nabla \times E = -\dot B\\ \nabla\cdot B = 0 &~~~ \nabla \times B =\mu_0 J + \mu_0\epsilon_0 \dot E \end{array}$$ Und unsere Idee ist, dass wir sehen $\nabla\cdot B = 0$und wir wissen, dass dies bedeutet $B = \nabla\times A$für einige $A$. Jetzt schauen $\nabla \times E = -\nabla \times \dot A$das sehen wir tatsächlich $\nabla \times (E + \dot A) = 0$was bedeutet, dass es auch ein skalares Potential geben muss $E + \dot A = -\nabla \phi$für einige $\phi$.

Nun fragen wir: „Inwieweit war diese Wahl von$A, \phi$frei, und inwieweit waren wir eingeschränkt?" Und die Antwort ist, dass wir die Felder erhalten müssen$E$Und$B$. Wir wissen, dass wir bewahren$B$wenn wir welche hinzufügen$\nabla \psi$Zu$A$weil die Kräuselung eines Gradienten Null ist. Aber was macht das mit unserer Gleichung?$E$? Es gibt uns$E + \dot A + \nabla \dot\psi = -\nabla \phi.$Fazit: Wir können jeden hinzufügen$\nabla \psi$Zu$A$aber nur, wenn wir auch subtrahieren$\dot \psi$Zu$\phi$, damit wir bewahren$E$sowie.

Diese Fähigkeit zum Hinzufügen$\psi$wird Eichfreiheit genannt und ist analog zu der Freiheit, eine Integrationskonstante zu wählen;$A$Und$\phi$sind in gewissem Sinne Integrationen von$E$Und$B$.

Jetzt haben wir oben zwei weitere Gleichungen, die wir nicht automatisch durch die obige Konstruktion garantiert haben. Verwendung der Identität$\nabla \times (\nabla \times X) = \nabla (\nabla \cdot X) - \nabla^2 X$wir können diese erheblich vereinfachen.

$$-\nabla^2 \phi - \nabla \cdot \dot A = \rho/\epsilon_0, \\ \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^2 A =\mu_0 J - \mu_0\epsilon_0 \big(\nabla \dot \phi + \ddot A\big).$$ Das erste, was wir sehen, ist das Auftauchen eines Operators $\Box X = \mu_0\epsilon_0 \ddot X - \nabla^2 X,$und das nächste ist eine Art potentielles Feld $\lambda = \nabla \cdot A + \mu_0 \epsilon_0 \dot \phi.$Wenn man diese in die beiden obigen Gleichungen kombiniert, erhält man: $$\Box \phi = \rho/\epsilon_0 + \dot \lambda, \\ \Box A =\mu_0 J - \nabla \lambda.$$ Okay, erinnerst du dich jetzt, was ich über die Spurweitenfreiheit gesagt habe? Wir können hinzufügen $\nabla \psi$Zu $A$wenn wir auch subtrahieren $\dot\psi$aus $\phi$? Was macht das $\lambda$wie oben definiert? Es ändert $\lambda\to\lambda - \Box\psi.$Es stellt sich heraus, dass dies genau garantiert, dass sich die Gleichungen nicht ändern ( Übung : beweisen Sie dies, dann überlegen Sie, warum das wahr sein muss. )

Wir können dies effektiv zum Ersetzen verwenden$\lambda$mit was wir wollen. Beispielsweise können wir uns bei der Coulomb-Eichung zunächst vorstellen, dass wir nach einigen willkürlich auflösen$\phi(\vec x,~ t)$und einige willkürlich$\vec A(\vec x,~ t),$So$\lambda(\vec x,~t)$ist ein kompliziertes Durcheinander. Aber wenn wir zuerst lösen$\Box \psi = \lambda - \mu_0 \epsilon_0 \dot \phi$die resultierenden Spurtransformationskarten$\lambda \to \mu_0 \epsilon_0 \dot\phi$und die obige Gleichung wird$-\nabla^2 \phi = \rho/\epsilon_0,$mit dem Standard-Coulomb-Potential gelöst (daher ist diese Wahl als Coulomb-Eichung bekannt ). Sie könnten einwenden, dass dies eine sofortige Fernwirkung erzeugt, aber denken Sie daran$E$ist nicht $-\nabla \phi$Im Algemeinen; es ist$-\nabla\phi - \dot A.$Die augenblickliche Fernwirkung in$\phi$wird durch sofortige Fernwirkung ausgeglichen$A$um die Felder in Ordnung zu halten.

Die "Gleichungen, die wir wollen" enthalten also explizit dieses Nicht-Fernhandeln und kommen, wenn wir sie lösen$\Box \psi = \lambda$zu messen-transformieren$\lambda\to 0.$Tatsächlich kombinieren sich die beiden Gleichungen zu einem "Vier-Vektor" -Ausdruck:$\Box (\phi/c,~ A) = \mu_0 (c \rho, ~ J).$Und das sind die Gleichungen, die wir wollen. (Im College hat es lange gedauert, bis ich mich mit der Frage auseinandergesetzt habe: „Was passiert, wenn die Bewegungsgleichungen das System in eine andere Richtung bringen$\lambda$?", was sich als sinnlose Frage herausstellt. Denken Sie daran, dass wir immer nach den Feldern auflösen .)

Beachten Sie, dass dieser letzte Schritt der Auswahl des Messgeräts im Grunde besagt: „Sie können dies immer tun“, aber es nicht ganz für Sie konstruiert: Unser Verfahren im Moment ist sehr gut für die analytische Theorie, aber sehr ungeschickt für die praktische Theorie: „Finde die Felder, erraten Sie einige$A$, finde etwas heraus$\phi$, Berechnung$\lambda$, lösen für die$\psi$Ihrer Träume, verwenden Sie das, um zu korrigieren$A$Und$\phi$deren Gleichung nicht mehr haben wird$\lambda:$hurra, du bist endlich an einem mathematisch schönen Ort.“ Wir wollen diesen Prozess umkehren: „nimm deine$\rho, J,$Recht berechnen$\phi, A$An diesem mathematisch hübschen Ort, verwenden Sie es jetzt, um das Richtige zu finden$E, B$." Dann werden wir zu einer schlanken, fiesen Theoriemaschine!

Wie lösen wir nun diese Gleichungen?

Okay, wir wissen, dass wir im 3D-Raum Ausdrücke der Form lösen könnten$\nabla^2 \alpha = -\beta$durch die von Ihnen bereitgestellte Lösung ,

$$\alpha(\vec r) = \frac{1}{4\pi} ~ \int_V d^3 r' ~\frac{\beta(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} = \int d^3 r' ~\eta(\vec r, \vec r').$$ Es gibt eine schöne Art, dies in Bezug auf Dirac zu interpretieren $\delta$-Funktionen, die als "Green's Functions"-Ansatz bezeichnet werden; Dies besagt, dass unsere Quellgleichung einen linearen Differentialoperator beinhaltet und daher dem Prinzip der Überlagerung gehorcht, sodass, wenn Sie seine Reaktion auf einen Stimulus an einem beliebigen Punkt kennen, $\beta = \delta_3(\vec r - \vec r')$ist die sogenannte "Greensche Funktion" $\alpha = f(\vec r, \vec r')$, dann ist der eigentliche Treiber nur eine Überlagerung $\beta(\vec r) = \int d^3r' ~\delta_3(\vec r - \vec r') \beta(\vec r'),$und daher ist die allgemeine Lösung nach Linearität die gewichtete Überlagerung dieser "Green-Funktionen", $\int d^3r~\beta(\vec r')~f(\vec r, \vec r').$

Also die angegebene Funktion$-1/({4\pi|\vec r - \vec r'|})$ist der$\alpha$Sie berechnen wann$\beta(\vec r) = \delta_3(\vec r - \vec r')$ist der 3D-Dirac$\delta$-Funktion. Sie können dies sehen, indem Sie den Laplace-Operator als die Divergenz eines Gradienten erkennen; dies beschreibt ein Feld, dessen Divergenz bis auf einen Punkt 0 ist$\vec r'$wo die Divergenz plötzlich ins Unendliche geht, so dass das Oberflächenintegral, das den Punkt begrenzt, 1 ist. Wir wissen, dass dies ein inverses quadratisches Feld erfordert, das wie folgt ist$(\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|^3$und wir sehen, dass so etwas als Gradient von herauskommen würde$1/|\vec r - \vec r'|,$und das$4 \pi$kommt von der Tatsache, dass die Oberfläche der Kugel natürlich ist$4 \pi r^2$.

So, jetzt kommen wir zu der Idee von$\Box = c^{-2} \partial_t^2 - \nabla^2$und wir wollen dasselbe tun, aber wir wissen das$\Box \alpha = 0$wird durch Überlagerung von Wanderwellen gelöst,$\alpha(\vec r, t) = \sum_i f_i(\vec r - \vec u_i~t)$wo für alle$i$Wir wissen das$|\vec u_i| = c.$Stellen wir uns vor, a$\delta$-Funktion in Raum und Zeit, stellen wir uns vor, dass es eine kugelförmige Hülle erzeugen müsste, die sich in alle Richtungen ausbreitet und dabei immer schwächer wird, und so vermuten wir so etwas wie$\alpha(\vec r, t) = \delta(t - t' - |\vec r - \vec r'|/c) / (4 \pi |\vec r - \vec r'|).$

Diese Vermutung erweist sich als genau richtig, daher ist die allgemeine Lösung die Überlagerung über beide Koordinaten:

$$\alpha(\vec r, t) = \int dt' ~\int d^3 r'~ \delta\left(t - t' - \frac{|\vec r - \vec r'|}c\right)~\frac{\beta(\vec r', t')}{4\pi|\vec r - \vec r'|}.$$ Ausführen des Integrals über $t'$Sie können einfach die Definition von verwenden $\delta$-Funktion zum Ersetzen von t' durch $t - |\vec r - \vec r'|/c$, Ihr Ausdruck oben.

Alternativ bewerben Sie sich einfach$\Box$zu deinem Ausdruck. Dies ist die „raten und prüfen“-Methode zum Lösen einer Gleichung; Ich habe Ihnen den Grund für die Green-Funktion gegeben, warum Sie diesen Ausdruck als Lösung der Gleichung erraten sollten; Jetzt müssen Sie es nur noch überprüfen und wenn es richtig ist, dann ist es richtig!

Dazu machen Sie einfach eine Divergenz eines Gradienten, wo es nützlich ist, das zu wissen$\nabla$gehorcht der normalen Produktregel für Derivate mit$\nabla f\big(|\vec r - \vec r'|\big) = f'\big(|\vec r - \vec r'|\big) ~ (\vec r - \vec r')/|\vec r - \vec r'|.$Das müssen wir ganz vorsichtig sagen$\dot \beta$ist die Ableitung von$\beta$in Bezug auf sein zweites Argument insgesamt, das wir nennen werden$\tau$kurz. Also fängst du an mit:

$$\nabla \left(\frac{\beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|}\right) = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|} \left(\frac{\dot \beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|} - \frac{\beta(\vec r', \tau)}{4\pi|\vec r - \vec r'|^2}\right),$$ und dann dasselbe mit der Divergenz.