Landau-Niveau-Entartung im Symmetriemaß, endliches System

Wie wir wissen, ist Landau-Niveau-Entartung in einem endlichen rechteckigen System Φ / Φ 0 , Wo Φ = B S ist der gesamte magnetische Fluss und Φ 0 = H / Q ist das Flussquant. Dies lässt sich leicht unter Verwendung der Landau-Lehre und unter Annahme der periodischen Randbedingung ableiten.

Wenn Sie jedoch das symmetrische Messgerät wählen, l z = X P ^ j − j P ^ X pendelt mit Hamilton, der entsprechenden Quantenzahl M ist also gut. Nach einigen Berechnungen wird schließlich das Energieniveau geschrieben als

E = [ N + ( M + | M | ) / 2 + 1 / 2 ] ℏ ω .
Ich möchte die Entartung des Landau-Niveaus für ein endliches System mit Radius ableiten R .

Der Gedanke, den ich bekam, ist, dass, weil in einem endlichen System der Drehimpuls begrenzt ist, der maximale Wert von l z Ist Q B R 2 wenn Sie das Teilchen betrachten, das die Kreisbewegung klassisch ausführt. Daher das Maximum M = l z / ℏ = 2 Φ / Φ 0 , und die Entartung wird somit mindestens verdoppelt.

Was wir gelernt haben, ist, dass die Wahl des Messgeräts den beobachtbaren Effekt nicht ändert, die endliche Entartung kann offensichtlich beobachtet werden. Was ist also falsch an meiner Ableitung? Oder weil sie unterschiedlich sind, nur weil das betrachtete System einfach nicht gleichwertig ist?

In Ihrer Frage ist nicht klar, ob Sie es speziell mit dem niedrigsten Landau-Niveau (LLL) oder mit einem beliebigen Landau-Niveau zu tun haben. Unabhängig von der Wahl des Messgeräts sollte man jedoch die gleiche Physik wiederherstellen. Ich denke, die Art und Weise, wie Sie denken, ist in Ordnung und gibt das Ergebnis mit einer guten Näherung wieder. Beachten Sie, dass selbst bei Verwendung der Landau-Lehre auf einem rechteckigen System die Φ / Φ 0 Der Ausdruck liefert nicht genau die LLL-Entartung, sondern nur eine Annäherung. Bei Bedarf kann ich eine Ableitung der LLL-Entartungsschätzung für das symmetrische Messgerät bereitstellen.
@dolan Danke für den Kommentar! Was ich betrachte, ist das einfachste quantenmechanische Problem, ein geladenes Teilchen in einem einheitlichen Magnetfeld. Die Entartung jedes Landau-Niveaus ist in der Landau-Eichweite gleich, wenn man eine rechteckige Stichprobe mit periodischen Randbedingungen betrachtet, dies ist meiner Meinung nach ein fast exaktes Ergebnis. Ich interessiere mich jedoch sehr für Ihre Behauptung, dh das LLL-Zeug und die von Ihnen genannte "Annäherung".
Ich fand Folgendes eine sehr nützliche Ressource, wenn ich versuchte, Landau-Levels zu verstehen: hitoshi.berkeley.edu/221a/landau.pdf
@Siva Danke, das ist eine gute Ressource! Eigentlich löse ich dieses Paradox, indem ich heute diese Notizen lese. Auf Seite 8 ging es um den "unphysikalischen Drehimpuls".

Antworten (2)

Das Problem bei meinem Gedanken ist, dass ich den „kanonischen Drehimpuls“ mit dem physikalischen vermische. Seit P ^ X , P ^ j kanonischer Impuls ist, sind sie explizit eichabhängig. Siehe Was ist kanonisches Momentum? für eine kleine Referenz.

Der l ^ z Geben Sie in meiner Frage keine physikalische Bedeutung zu, daher ist die beschränkte Bedingung dafür einfach ungültig. Der wahre physikalische Schwung sollte sein

L ^ z = X P ^ j − j P ^ X = l ^ z − Q B 2 R 2

Betrachten Sie klassisch von der linken Seite, L z = − Q B R 2 , also haben wir endlich:

l z M A X = − Q B R 2 / 2

Also haben wir | Q | B R 2 / 2 ℏ verschiedene Werte von M ¯ zu wählen, die die richtige Entartung geben: Φ / Φ 0

Schön zu sehen, dass du das Paradox selbst gelöst hast! Eine andere Möglichkeit, das gleiche Ergebnis zu finden, besteht darin, die Anzahl der Umlaufbahnen zu berechnen, die auf einer Oberfläche gleich der Fläche des Systems gestapelt werden können.

Erinnern wir uns zuerst an grundlegende Dinge auf Landau-Ebenen. Der Hamiltonian eines Teilchens, das sich in 2D bewegt { X , j } ≡ { R , θ } Plan durch ein statisches Magnetfeld lautet:

H = ( P − Q A ) 2 2 M = P 2 2 M + 1 8 M ω C 2 R 2 − ω C 2 L z
Wo A = ( − B j / 2 , B X / 2 , 0 ) ist der Potentialvektor in der symmetrischen Spur, L z = X P j − j P X = − ich ℏ ∂ θ der kanonische Drehimpuls und ω C = Q B / M die Zyklotronpulsation.

Heisenbergsche Ungleichungen liefern hier konsistente physikalische Konstanten des Problems (typische Länge ℓ und Geschwindigkeit v M der Bewegung):

M v M ℓ ∼ ℏ mit v M = ℓ ω C
So finden wir ℓ = ℏ M ω C die oft als magnetische Länge bezeichnet wird .

Man kann dann das Spektrum von berechnen H :

S P ( H ) = [ E N , M = ( N − M + 1 ) ℏ ω C 2 ; N ≥ 0 , M = − N , − N + 2 . . . N − 2 , N ]
Wo N ist die Quantenzahl, die dem zugeordnet ist P 2 2 M + 1 8 M ω C 2 R 2 Teil von H , Und M ist die magnetische Quantenzahl. Beachten Sie das für eine Bewegung im gesamten Plan R 2 , Laundau Levels Entartung D ist unendlich.

Beschränken wir uns nun in unserer Diskussion auf das für gegebene Lowest Landau Level (LLL). N = M , lässt sich leicht nachprüfen, dass die Eigenwellenfunktion etwa so lautet:

Ψ N = M ( R , θ ) ∝ ( R e ich θ ) M e − ( R / 2 ℓ ) 2
Die wesentlichen Merkmale von Ψ N = M ist, dass seine RMS-Breite nichts anderes als die magnetische Länge ist ℓ und dass es um einen Radius maximal ist R M A X = 2 M + 1 ℓ .

Wenn wir nun bedenken, dass die Bewegung des Teilchens auf a beschränkt ist R Radiusscheibe, die Entartung D des LLL kann abgeschätzt werden, indem man zählt, wie viele Bahnen man in die Oberfläche bringen kann S = π R 2 vom System. Angenommen, das System ist groß genug S >> ℓ 2 eine große Zahl zu erhalten M >> 1 von Orbitalen, dann nach dem Ausdruck von Ψ N = M , die Bedingung, die erfüllt werden muss, um diese Orbitale einsetzen zu können S ist einfach :

R 2 > M 2 ℓ 2

Somit ist die Entartung einfach:

D ∼ R 2 2 ℓ 2 = S 2 π ℓ 2 = Φ Φ 0

2 π ℓ 2 kann leicht als die typische Oberfläche eines Orbitals interpretiert werden.

Ich verstehe deine Meinung. Grundsätzlich ist Ihre Behauptung für den LLL-Fall die Wellenfunktion ψ M in einem ringförmigen Bereich lokalisiert ist, ist dieser Bereich eine Konstante für verschiedene M 'S. Für größere M , der lokalisierte Ort ist weiter von der Mitte entfernt und der Ring ist schmaler, um den Ringbereich beizubehalten 2 π l 2 unverändert. Die Entartung wird unter Verwendung der Gesamtfläche abgeleitet S Teilen Sie den Ringbereich; Also zurück zu Ihren Kommentaren unter der Frage, Sie behaupten, dass dies nur für LLL gilt, da die Wellenfunktion in anderen Fällen dieses Verhalten nicht aufweisen wird. Korrigiere mich, wenn ich deine Bedeutung falsch verstanden habe
Ja, du hast vollkommen recht. Eigentlich der Ausdruck, den ich gab Ψ N , M gilt in 2 Fällen: für das LLL N = M und für die anderen extremalen Drehimpulszustände N = − M . Für die anderen Zustände ist der Ausdruck für Ψ N , M kann in der Tat komplizierter sein.
Dieses Argument lässt sich auch auf die Spurweite Laudau anwenden, für die Spurweite Landau meinen Sie das Φ / Φ 0 Entartung gilt nur für den Grundzustand? (Die Antwort sollte ja lauten, da die Wahl des Messgeräts die Physik nicht beeinflussen kann). Wie jedoch mein Kommentar unter der Frage, basierend auf der Quantisierung des Impulses, ist die Entartung für jeden LL gleich; Außerdem ist diese Ableitung einfach, aber für mich ist sie sehr streng. Da die einzige verwendete Annahme die periodische Randbedingung ist.
Ja, Ihre Ableitung ist elegant, da sie sehr schnell durchgeführt werden kann. Bei der klassischen Berechnung des Drehimpulses sollte man aber vorsichtig sein L z ∼ − Q B R 2 . Ich denke, es funktioniert gut für das LLL, aber ich bin mir nicht sicher, ob es für andere Landau-Levels in Ordnung wäre. Und ja, offensichtlich sollte die Physik, die wir hier betreiben, eichinvariant sein.
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