Warum führen unterschiedliche Vektorpotentiale im Landau-Niveau-Problem zu unterschiedlichen quantenmechanischen Grundzustands-Wellenfunktionen?

Stellen Sie sich vor, ein geladenes Teilchen (Elektron) bewegt sich in der xy-Ebene unter einem Magnetfeld, das entlang der z-Richtung zeigt, dh B → = B z ^ . Infolgedessen können wir drei verschiedene Messgeräte aufschreiben:

  1. symmetrische Spurweite: A → = ( A X , A j ) = B 2 ( − j , X ) ,
  2. translationsinvariante Eichung entlang x: A → = B ( − j , 0 ) , Und
  3. translationsinvariante Eichung entlang y: A → = B ( 0 , X ) .

Wie bereits in einem anderen Beitrag Geladene Quantenteilchen in einem Magnetfeld angesprochen und gefragt , lauteten die Antworten, dass die drei verschiedenen Grundzustands-Wellenfunktionen, die sich aus den oben genannten drei unterschiedlichen Messmethoden ergeben, durch lineare Transformationen verbunden sind und zu demselben Energiespektrum führen. Somit ist alles stimmig. Wenn wir die detaillierte Ableitung durchgehen, zum Beispiel Hitoshi Murayamas Landau Levels Note , sehen wir das

  1. Das symmetrische Messgerät führt zu einer Grundzustandswellenfunktion: ψ N ( z , z ¯ ) = N N z N exp ⁡ ( − e B z ¯ z 4 ℏ C ) , Wo z = X + ich j Und z ¯ = X − ich j , während
  2. A → = B ( 0 , X ) führt zu unterschiedlichen Grundzustandswellenfunktionen (nicht normalisiert): ψ 0 ( X , j ) = exp ⁡ ( ich k j j − e B 2 ℏ C ( X − ℏ C e B k j ) 2 ) .

Es ist offensichtlich, dass die beiden Grundzustände unterschiedlich sind, und somit | ψ | 2 . Meine Frage ist, wie unsere unterschiedliche Wahl des Messgeräts, das aus demselben physikalischen Magnetfeld stammt, zu unterschiedlichen Ergebnissen führt | ψ | 2 , obwohl es zum gleichen Energiespektrum führt?

Ich denke, Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie versuchen, diese beiden Wellenfunktionen zu vergleichen. Wie Sie wissen, sind die GS wf stark degeneriert, und daher können Sie möglicherweise ein wf einer Spur als Überlagerung von wf der anderen konstruieren.
@AccidentalFourierTransform: Ich denke, der Punkt des OP ist, dass physikalische Größen messgeräteunabhängig sind, und Sie fragen sich vielleicht, warum ⟨ X ^ ⟩ würde sich mit der Spurweite ändern, da sich die wf ändert.
@AccidentalFourierTransform Das weiß ich. Aber ich denke, dass die Antwort etwas subtiler ist, als nur zu sagen "es muss eichinvariant sein, also ist es so".

Antworten (2)

Natürlich sind Observables wie z | ψ | 2 müssen eicheninvariant sein, und die Zwei-Wellen-Funktionen von gibt durch das OP, in zwei verschiedenen Eicheln, gibt offensichtlich zwei unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Auflösung des Paradoxons ergibt sich aus der Tatsache, dass die beiden Wellenfunktionen tatsächlich zwei unterschiedliche Grundzustände beschreiben, wie man wie folgt sehen kann. A → 1 = B 2 ( − j , X ) Und A → 2 = B ( 0 , X ) hängen durch einen Gradienten der Funktion zusammen χ = B 2 X j , A → 2 = A → 1 + ∇ χ , was dies für eine gegebene Wellenfunktion impliziert ψ 2 translationsinvariante Eichung entlang j , ψ 2 = N exp ⁡ ( ich k j j − e B 2 ℏ C ( X − ℏ C e B k j ) 2 ) , entspricht einer Wellenfunktion ψ 1 in der anderen Spurweite, ψ 1 = e ich e χ ψ 2 . Es ist leicht, das zu zeigen

ψ 1 = N ' e k j z − e B 2 z 2 e − e B 4 z z ¯ ,
was umgeschrieben werden kann als
ψ 1 = F ( z ) e − e B 4 z z ¯ ,
und ist tatsächlich eine Grundzustands-Wellenfunktion in der symmetrischen Eichung.

Man muss bedenken, dass die vom OP gegebenen Wellenfunktionen nur zwei Elemente mit zwei Basen (entsprechend zwei Messgeräten) sind, die die massiv entarteten Zustände eines Teilchens in einem Magnetfeld beschreiben können.

Edit: Um es ein wenig zu verdeutlichen. Die beiden Wellenfunktionen in der Frage des OP beschreiben nicht denselben physikalischen Zustand. Für ein gegebenes N oder k j , sie sind alle gültige Grundzustands-Wellenfunktionen und bilden eine Grundlage zur Beschreibung des massiv entarteten Grundzustands. Aber bei einem Spurwechsel wird man im Allgemeinen nicht von einem Basiszustand einer Spur auf einen Basiszustand der neuen Spur abbilden, sondern es wird im Allgemeinen eine Überlagerung sein, wie in dem obigen Beispiel zu sehen ist.

danke für die anschauliche erklärung. Mir ist jetzt klar, dass die beiden wfs durch eine Eichtransformation zusammenhängen. Was erwarten wir jedoch experimentell zu sehen? Wie Sie zugestimmt haben, führen die beiden Wfs zu zwei verschiedenen Problemen. Abstand Oder sehen wir eine Überlagerung von beidem?
@thihakyaw: experimentell hängt es davon ab, in welchem ​​​​Zustand Sie das System vorbereiten. Angenommen, Sie bereiten es auf irgendeine Weise im Staat vor ψ 2 . Dann könnten Sie äquivalent sagen, dass Sie es im Staat vorbereitet haben ψ 1 , da 1- Sie das Messgerät nicht kennen, da es nicht beobachtbar ist, 2- alle Eigenschaften dieser beiden Zustände gleich sind. Allerdings natürlich ein Zustand ψ 1 ' (mit seinem Begleiter ψ 2 ' ) unterschiedlich sein und unterschiedliche Eigenschaften haben.
danke nochmal für die erklärung. Ich denke, wir haben keine Kontrolle darüber, welchen Zustand wir vorbereiten müssen, außer wir könnten das System auf einen seiner vielen entarteten Grundzustände abkühlen. Oder haben wir wirklich die Kontrolle darüber, mit welchem ​​​​Zustand wir beginnen? Entschuldigung für meine hartnäckige Frage, ich bin neu darin. Danke.
@thihakyaw: Wir könnten uns vorstellen, die Position des Partikels zu messen T = 0 . Dann ψ ( X ) = δ ( X − X 0 ) . Anschließend können Sie die Delta-Funktion auf die Basis Ihrer Wahl zerlegen (z. B. die des symmetrischen Messgeräts). Sie können dann auch die Spurweite ändern und sie in Bezug auf die Basis der anderen Spurweiten umschreiben. Es ist alles die gleiche Physik.
@thihakyaw: siehe auch meine Bearbeitung, vielleicht verdeutlicht es die Dinge ein wenig.
Jetzt verstehe ich, warum die beiden translationsinvarianten Messgeräte bevorzugt werden, wenn 2D-Hall-Strom in Experimenten involviert ist. Es ist jetzt klar. Danke Adam.
Nur um ein bisschen nachzugehen. Kann ich intuitiv denken, dass "das Ändern der Spurweite dem Ändern des Referenzrahmens entspricht"? @Adam.
@thihakyaw: ja, in gewissem Sinne.

Siehe alte Abhandlung von Swenson im American Journal of Physics (die genau die oben genannten Themen vergrößert) und eine neue Resolution, die in einer bevorstehenden Abhandlung von G. Konstantinou & K. Moulopoulos erscheinen wird.

Es ist schlechter Stil, auf kommende Arbeiten zu verweisen – es beantwortet einfach nichts und es sieht so aus, als wären Sie einer der Autoren (sind Sie das? Selbstverweise sind in Ordnung, aber Sie sollten es sagen). Außerdem ist Ihr Zitat mehr als unvollständig (ich finde fünf Artikel, die der Beschreibung entsprechen), und wir haben die Richtlinie, dass Sie zumindest in wenigen Worten den Inhalt des Papiers skizzieren sollten, das eine Antwort auf die Frage gibt.
Ja, ich stimme Martin vollkommen zu. Würden Sie, @user123823, das alte Papier von Swenson spezifizieren? DOI oder URL zum Papier? Haben Sie auch den arXiv-Link zum Artikel von G. Konstantinou et. Al.? Danke.
Warum führen unterschiedliche Vektorpotentiale im Landau-Niveau-Problem zu unterschiedlichen quantenmechanischen Grundzustands-Wellenfunktionen?
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