Quantenteilchen auf einem Ring mit Magnetfluss: Können wir das Magnetfeld ablesen?

Stellen Sie sich ein Quantenteilchen auf einem Ring und ein homogenes Magnetfeld ungleich Null vor, das senkrecht zu der Scheibe steht, die der Ring definiert, und das nur im Inneren des Umfangs des Rings ungleich Null ist. Lassen B → = B 0 z ^ und der Fluss durch den Ring sein Φ .
Für das Vektorpotential können wir wählen (in Zylinderkoordinaten) A → = Φ 2 π 1 ρ ϕ ^ .

Wenn ich versuche, eine Gauge-Transformation durchzuführen A ' → = A → − ∇ → F um das Magnetfeld wegzumessen, indem man zu einem neuen Messgerät geht, wo A ' → = 0 → , Ich finde F = Φ 2 π ϕ . So, da habe ich eine Funktion gefunden F Um dies zu tun, scheint es, als hätte ich das Magnetfeld erfolgreich abgemessen, was physikalisch unmöglich ist!

Was passiert hier?
Ich vermute, dass da etwas nicht stimmt F ist mehrwertig X = 0 (was entspricht ϕ = 0 , 2 π , . . ) . Wenn dies der Fall ist, wie kann ich dies beheben und erhalten A ' → ≠ 0 ? Gibt es einen systematischen Weg, solche Fälle zu behandeln, dh einen geeigneten zu finden? F das würde dieses Problem lösen und das richtige Magnetfeld liefern?

Klingt, als hätten Sie Ihre eigene Frage beantwortet; das ist nicht richtig, weil Ihr F ist mehrwertig.
@knzhou Ich habe die Frage bearbeitet, um klarer zu machen, was ich frage.
Ich bin immer noch nicht sicher, was Sie fragen. Was meinst du mit "das richtige Magnetfeld geben"? Sie wissen bereits, was es ist; es ist B 0 z ^ .
@knzhou Durch die obige Gauge-Transformation fand ich eine F so dass A ' → = 0 was gibt B → = 0 , was eindeutig falsch ist. Die Frage ist also, wie man sieht, wo genau das Ganze schief geht, und wie man systematisch und richtig Eichtransformationen durchführt, damit das obige Problem nicht auftritt.

Antworten (1)

Beschreibe das Problem als „weil F ist mehrwertig" ist eine Möglichkeit, das Problem zu beschreiben, aber es ist nicht wirklich die Wurzel des Problems. Die Wurzel des Problems ist die Singularität bei R = 0 . Um sich als Eichtransformation zu qualifizieren, muss die Funktion gehorchen

∇ × ∇ F ( X , T ) = 0
überall.

Es sieht so aus, als ob diese Funktion funktioniert, wenn Sie nur die Ableitungen nehmen, aber das ist irreführend. − 1 4 π ∇ 2 R − 1 Es sieht so aus, als würde es nach demselben Kriterium verschwinden, wenn es sich tatsächlich um die Dirac-Delta-Funktion handelt. Dasselbe passiert hier. Genauso wie es möglich ist, die Existenz der Delta-Funktion in der Divergenz des Gradientenfalls mit dem Divergenzsatz zu zeigen, wird Ihnen eine Anwendung des Satzes von Stoke dies zeigen

∮ γ ∇ F ⋅ D ⁡ S → ≠ 0
Immer wenn der Ursprung von der Schleife eingeschlossen ist, γ , was beweist, dass die Eichtransformation ungültig ist.

Wie werden diese "versteckten" Deltafunktionen systematisch einbezogen? Wie kann ich diese Messgerättransformationen von Anfang an richtig machen?
@TheQuantumMan Du meinst "ausschließen"? Oder wollen Sie mit diesen Funktionen trotzdem eine Messgerättransformation vornehmen? Im ersten Fall ist es am einfachsten, einfach bei kontinuierlichen Funktionen zu bleiben. Abhängig von der Topologie der Diskontinuität kann es möglich sein, Diskontinuitäten zuzulassen, aber ich weiß es nicht endgültig. Wenn letzteres der Fall ist, müsste geändert werden, was wir unter einer Spurweitentransformation verstehen, um sie beizubehalten E → Und B → invariant unter der breiteren Klasse von Funktionen.
Letzteres meine ich. Wie könnten wir diese Eichtransformationen unter Verwendung der von Ihnen angegebenen breiteren Funktionsklasse systematisch durchführen?
@TheQuantumMan Ich weiß es nicht, und ich weiß nicht, ob sich jemand die Mühe gemacht hat, es herauszufinden. Ich vermute, dass Sie Diskontinuitäten zulassen können, solange sie keinen Vorteil haben. Eventuell lassen sich Kanten in den Unstetigkeiten zulassen, wenn man die Eichtransformationsgleichungen so modifiziert, dass sie erhalten bleiben E → Und B → behoben, selbst für diese breitere Klasse von Funktionen, aber ich habe mich nicht damit befasst.
Quantenteilchen auf einem Ring mit Magnetfluss: Können wir das Magnetfeld ablesen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v