Warum kann die Divergenz des Vektorpotentials irgendetwas sein?

Erstens ist die körperliche Sache, die uns wichtig ist$\vec B$. Wir können also alles tun$\vec A$wir mögen, solange wir das gleiche bekommen$\vec B$. Das heißt, wir können alles tun, was die Locken nicht verändert$\vec A$.

Nun stell dir das vor$\vec \nabla\cdot\vec A = f$. Hier versäumt es Purcell zu betonen, was er mit „analog von“ meint$\vec E$in der Elektrostatik" - die Kräuselung eines elektrostatischen Feldes ist Null ! Also$\vec F$ist ein Feld mit$\vec\nabla\cdot\vec F = f$, Aber$\vec \nabla\times\vec F = 0$. So$\vec A - \vec F$hat jetzt keine Divergenz, aber immer noch die gleiche Kräuselung.

Sie müssen das Helmholtz-Theorem und ähnliche Ergebnisse nachschlagen , die Ihnen im Grunde die Antwort von ACuriousMind geben .

Aber eine Art, wie ich das gerne visualisiere, ist die Fourier-Transformation; im Fourierraum die Locke$X\mapsto\nabla\times X$und Divergenz$X\mapsto \nabla\cdot X$einfach das Kreuz werden$\tilde{X}\mapsto k\times\tilde{X}$und Skalar$\tilde{X}\mapsto k\cdot\tilde{X}$Produkt mit dem Wellenvektor$k$. Wir betrachten also unser transformiertes Vektorfeld$\tilde{X}$im Fourier-Raum: an jedem Punkt$P$, die Komponente$\tilde{X}_\parallel$von$\tilde{X}$entlang des Strahls, der den Ursprung und verbindet$P$ist der Teil, der zur Divergenz von beiträgt$X$, und nur dieser Teil kann zur Divergenz beitragen. Ebenso die Komponente in der Ebene normal zu$k$ist die Komponente, die zur Kräuselung beiträgt, und nur dieser Teil trägt zur Kräuselung bei.

Was Purcell sagt, ist, dass wir die Komponente frei wählen können$\tilde{X}$entlang des Wellenvektors, um alles zu sein, was wir mögen.

Also bei einer willkürlichen (abgesehen von den üblichen Konvergenzbedingungen) Divergenz$\nabla \cdot X$, können wir die benötigte Komponente finden$\tilde{\phi}(k)$im Fourier-Raum durch Lösen der Poisson-Gleichung$\nabla^2 \phi = \nabla \cdot X$.

Der gesuchte Begriff ist "Gauge Transformation", und wenn Sie sich darüber informieren (Google liefert viele gute Treffer), finden Sie viele verschiedene Denkansätze zu diesem Problem.

Aber was Sie anscheinend verwirrt hat, ist Folgendes: Ich glaube, Sie gehen davon aus, dass zwei Funktionen, die dieselbe Divergenz haben, gleich sein müssen. Aber denken Sie darüber nach, was das bedeuten würde, wenn es wahr wäre:

Wenn$\nabla\cdot\vec{A}=\nabla\cdot\vec{B}$impliziert$\vec{A}=\vec{B}$, dann definieren$\vec{C}=\vec{A}-\vec{B}$würde es uns erlauben, das zu beweisen$\nabla\cdot\vec{C}=0$impliziert$\vec{C}=0$. Aber das kann nicht stimmen, denn das wissen wir$\nabla\cdot\vec{E}=0$regelt das elektrische Feld im leeren Raum, und es gibt viele zulässige elektrische Felder ungleich Null im leeren Raum.

Intuitiv ist der Gradient ein Skalarfeld mit weniger Freiheitsgraden als das Vektorfeld. Die Angabe des Gradienten sollte Ihnen also im Allgemeinen nicht genügend Informationen liefern, um das Feld zu bestimmen. Sie benötigen mehr Gleichungen der Einschränkung als das.

Lassen Sie uns dies konzeptionell verstehen. Wir haben$\nabla\cdot\mathbf{B}=\mathbf{0}$, also benötigen wir eine Vektorfunktion$\mathbf{A}$so dass$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$damit seine Divergenz verschwindet. Als$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}$, wir können schreiben$\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2 \mathbf{A}=\mu_0\mathbf{J}$. Jetzt kann gewählt werden$\mathbf{A}$so dass seine Kräuselung unverändert bleibt, aber seine Divergenz verschwindet. Uns interessiert dieser spezielle Fall, weil wir dann bekommen würden$\nabla^2\mathbf{A}=\mu_0\mathbf{J}$was der Poisson-Gleichung für das skalare Potential in der Elektrostatik ähnelt.