Wie wenden wir das Ampèresche Gesetz für nicht-planare Schleifen an?

Wie wenden wir das Gesetz von Ampère (Magnetismus) auf nicht-planare Schleifen an?

Seine allgemeinste Form (oder Sie können sagen, die einzige, die ich kenne) ist

∮ C B ⋅ D l = μ 0 ∬ S J ⋅ D S
Aber was würde Strom eingeschlossen im Fall von nicht planaren Schleifen bedeuten. Ich meine, unendlich viele Kurven können eine solche Schleife enthalten. Als Ergebnis wäre zwar die rechte Seite (Linienintegral des B-Felds) in jeder gleich, aber das Integral der Stromdichte wäre für jede Kurve (Oberfläche oder Mannigfaltigkeit) unterschiedlich.

Könnten Sie bitte angeben, auf welche Form des Ampère-Gesetzes Sie sich beziehen? In der Form, die ich kenne, ist der Strom beliebig, sodass er nicht auf eine Schleife beschränkt sein muss.
Ist eine der Seiten der Gleichung ein Integral der Stromdichte oder ist es nur der Gesamtstrom?
Ok, du brauchst das Formular, wo das Integral der Stromdichte noch nicht fertig ist, wie der erste und zweite Teil dieser Gleichung: wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/…
Was würde Strom eingeschlossen im Fall von nicht planaren Schleifen bedeuten? Eine solche Schleife kann unendlich viele Kurven durchlaufen
Eine unendliche Anzahl von Kurven kann auch eine planare Schleife durchlaufen. Wählen Sie einfach eine aus, die einfach zu integrieren ist.
Der eingeschlossene Strom wäre jedoch für jede Kurve unterschiedlich. während jeweils das Linienintegral erhalten bleibt.
Wenn der von der Kurve eingeschlossene Strom für zwei Kurven unterschiedlich ist, dann ist dies auch das Integral des Magnetfelds entlang ihnen.
Wie....?? Das B-Feld entlang der Schleife würde in jedem Fall gleich bleiben, egal welche Kurve wir wählen. Abgesehen davon, was kann Strom, der von einer nicht planaren Schleife eingeschlossen ist, möglicherweise bedeuten?
Ich denke, Sie verwechseln die Schleife (die durch die Stromdichte gegeben ist) und die Integrationskurve (die beliebig gewählt werden kann). Abhängig von Ihrer Wahl der Kurve erhalten Sie eine Gleichung, die für das Feld B gelöst werden kann oder nicht. Also alle Entscheidungen sind möglich, aber nicht alle sind hilfreich. Normalerweise hängt Ihre Kurve von einem Parameter ab, der dann zu einer Koordinate wird, von der B abhängt. Ich würde Ihnen raten, sich die Ableitung des Magnetfelds für eine planare Schleife anzusehen und zu sehen, wie die Wahl des Integrationspfads in die Berechnung eingeht.
Was ist eine nicht planare Schleife?
eine Schleife, die vollständig von einer einzigen Ebene eingeschlossen werden kann. oder genauer gesagt, das Vektorprodukt zweier beliebiger Längen des lo0p bleibt gleich (richtungsmäßig).
Ich verstehe Ihre Frage immer noch nicht und Sie sollten sie bearbeiten, um die Fehler zu beseitigen und zu klären. Fragen Sie, wie die rechte Seite (beachten Sie, dass Sie sich in Ihrer Frage derzeit darauf beziehen, dass die RHS ein Linienintegral des B-Felds ist??) für jede Wahl der Oberfläche (nicht der Kurve), die durch die willkürliche Schleife begrenzt ist, gleich bleibt ?

Antworten (1)

Dies sind relativ Standardmaterialien, daher können Sie für die Details Ihr bevorzugtes EM-Lehrbuch konsultieren, aber ich werde die Übersicht skizzieren.

Das Problem mit dem Ampèreschen Gesetz für jede Art von Schleife (einschließlich planarer Schleifen!) ist, dass es viele Oberflächen gibt S die dieselbe Grenze teilen C = ∂ S , was die Aussage macht

∮ C B ⋅ D l = μ 0 ∬ S J ⋅ D S
etwas verdächtig, es sei denn, wir können (a) eine kanonische Oberfläche wählen S für jede Kurve C , oder (b) zeigen, dass das Oberflächenintegral auf der rechten Seite tatsächlich unabhängig davon ist, welche Oberfläche wir wählen.

Die Auflösung dazu ist in der Tat (b): Der Stromfluss ist wirklich unabhängig von der gewählten Oberfläche. Um dies zu beweisen, betrachten wir zwei Oberflächen S 1 Und S 2 die dieselbe Grenze teilen C , so dass wir das beweisen wollen

∬ S 1 J ⋅ D S = ∬ S 2 J ⋅ D S ,
oder gleichbedeutend damit
◯ ∬ S J ⋅ D S = ∬ S 1 J ⋅ D S − ∬ S 2 J ⋅ D S = 0 ,
Wo S ist die geschlossene Fläche, die den Zwischenraum umgibt S 1 Und S 2 .

Nun, es gibt eine Reihe von Möglichkeiten zu beweisen, dass dieses Integral tatsächlich Null ist, aber sie laufen alle auf das hinaus: das geschlossene Oberflächenintegral ∯ S ⁡ J ⋅ D S stellt die Nettoladungsmenge dar, die in das Volumen zwischen eintritt S 1 Und S 2 pro Zeiteinheit und für eine statische Situation muss dieser Nettobetrag genau null sein, oder Sie würden ein lineares Wachstum der eingeschlossenen Ladung in diesem Volumen haben, was Sie schnell aus der statischen Situation herausholt, in der Sie sich befanden.

Das bedeutet natürlich, dass das hier formulierte Ampère-Gesetz in dynamischen Situationen nicht mehr ohne Modifikationen gelten kann – und dann muss es tatsächlich auf das Ampère-Maxwell-Gesetz erweitert werden, das einen zusätzlichen Term im Flächenintegral enthält , und die wiederum die Eigenschaft hat, dass sie unabhängig von der Oberfläche hält S Sie entscheiden sich für die Integration.

Genau das, was ich gefragt habe.
Wie wenden wir das Ampèresche Gesetz für nicht-planare Schleifen an?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v