Inwiefern ist die zweite Maxwell-Gleichung hier wahr?

$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}\tag1$

Das stimmt, weil an jedem Punkt $\nabla\cdot\vec{B}=0 \tag2$

In Freiraumpunkten ,

$\displaystyle \vec{B}=\dfrac{\mu_0}{4 \pi}\int_C \dfrac{I\ dl \times\hat{r}}{r^2}\tag3$

Folglich:$\nabla \cdot\vec{B}=0 \tag2$

An den Punkten auf der Schaltung gibt es eine Singularität und wir können die Gleichung nicht direkt anwenden$(3)$, dh Gesetz von Biot Savart.

Also in diesem Fall, wie kann$\nabla \cdot\vec{B}=0$

Bearbeiten (mein Verständnis) @ garyp:

$\text{I am a graduate student. So I may seem to be a bit naive. Anyway please tell whether}\\ \text{I am understanding in the right way.}$

Hier betrachte ich die Schaltung nicht als dreidimensional.

Indem er als eindimensional betrachtet wird, wird der (geschlossene) Stromkreis gleichbedeutend mit einer magnetischen Dipolschicht von infinitesimaler Dicke.

Durch die Verwendung des umgekehrten Quadratgesetzes der Magnetpole können wir das Magnetfeld (Intensität) an jedem Punkt außerhalb der magnetischen Dipolschicht finden (sogar an Punkten, die unendlich nahe an der Dipolschicht liegen). Betrachten wir zuerst das Magnetfeld aufgrund eines Elements der Dipolschicht an einem unendlich nahen Punkt:

$$\vec{B}=\mu_0\vec{H}= k \ M\ \left[ \dfrac{\hat{r_1}}{r_1^2}-\dfrac{\hat{r_2}}{r_2^2} \right] dS'$$

(Wo$M$ist die magnetische Poldichte und$S'$ist die Oberfläche der magnetischen Dipolschicht)

Verwenden Sie jetzt die Divergenzformel in sphärischen Koordinaten:

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{B} &= k \ M\ \left[ \nabla \cdot \dfrac{\hat{r_1}}{r_1^2}-\nabla \cdot \dfrac{\hat{r_2}}{r_2^2} \right]\ dS' \\ & = \lim_{r\to\ 0} k \ M\ \left \{ \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \left( r^2 \dfrac{\hat{r}}{r^2} \right)}{\partial r} \right]_{\text{at }r_1} -\left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \left( r^2 \dfrac{\hat{r}}{r^2} \right)}{\partial r} \right]_{\text{at }r_2} \right \} dS' \\ \text{We see the two $r^2$ cancel out} \\ & = \lim_{r\to\ 0} k \ M\ \left[ \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r} \right]_{\text{at } r_1} - \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r} \right]_{\text{at } r_2} \right] dS'\\ & =0\\ \text{(This is because $\dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r}=0$)} \end{align}$$

Daher ist die Divergenz (an Punkten außerhalb der Dipolschicht) aufgrund jedes der Elemente der Dipolschicht Null. Das heißt, die Divergenz (an Punkten außerhalb der Dipolschicht) aufgrund der magnetischen Dipolschicht ist Null.

Wir sehen also, dass das Magnetfeld an Punkten unendlich nahe an der Dipolschicht explodieren kann, aber seine Divergenz immer noch Null sein wird.

Somit ist die Divergenz des Magnetfelds aufgrund des (geschlossenen) Stromkreises überall Null, außer an Punkten auf dem (geschlossenen) Stromkreis. Jetzt kommt der entscheidende Punkt: Da wir wissen, dass die Divergenz des Magnetfelds aufgrund eines (geschlossenen) Stromkreises selbst an Punkten, die unendlich nahe am Stromkreis liegen, Null ist, ignorieren wir den Stromkreis und sagen$\nabla \cdot \vec{B}=0$überall an$\mathbb R^3$.