Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes aus dem Helmholtz-Theorem?

Der Satz von Helmholtz sagt uns, dass jede Vektorfunktion$\vec{F(\vec{r})}$das ausreichend schnell auf Null geht, kann ausgedrückt werden als

$$\vec{F(\vec{r})}=\nabla(\frac{-1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\vec{F(\vec{r}')}}{R}dV')+\nabla\times(\frac{1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\times\vec{F(\vec{r}')}}{R}dV')$$

Wo$R=|\vec{r}-\vec{r'}|$die Größe des Trennungsvektors ist. Jetzt haben wir das aus den Maxwell-Gleichungen (unter der Annahme der Magnetostatik).$\nabla \cdot \vec{B}=0$Und$\nabla \times \vec{B}=\mu_0\vec{J}$. Wenn wir diese Tatsachen mit dem obigen Helmholtz-Theorem kombinieren, erhalten wir, dass das Magnetfeld (innerhalb des Bereichs der Magnetostatik) die Form annehmen sollte

$$\vec{B(\vec{r})}=\nabla\times\frac{\mu_o}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')}}{R}dV' \tag{$1$}$$ Nun sollte das Obige dem Biot-Savart-Gesetz für Volumenströme entsprechen, das ist $$\vec{B(\vec{r})}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vec{J(\vec{r}')\times\hat{R}}}{R^2}dV'\tag{$2$}$$ Aber diese beiden Gleichungen unterscheiden sich merklich (zumindest in ihrer gegenwärtigen Form). Gibt es eine Möglichkeit, Gleichung (1) so zu manipulieren, dass wir am Ende Gleichung (2) haben?

Jede Hilfe wäre sehr willkommen!