Bedingungen an einem Vektorfeld zur Darstellung eines Magnetfelds

Jedes statische Feld ohne Divergenz, dh das dem magnetischen Gaußschen Gesetz gehorcht$\nabla\cdot\mathbf B=0$, ist ein gültiges Magnetfeld. Die Kräuselung des Feldes kann beliebig sein: Wenn sie ungleich Null ist, ist eine Stromdichte erforderlich$\mathbf J$um es aufrechtzuerhalten, gegeben durch das Gesetz von Ampère

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J.$$ Diese Kräuselung kann im Prinzip jedes geeignete Vektorfeld sein, da es sich jedoch um eine Kräuselung handelt, muss es keine Divergenz aufweisen, d. h $\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf B )= \mu_0\nabla \cdot\mathbf J=0$, was im statischen Fall wegen der Ladungserhaltung sowieso passieren muss.

Wenn es keine Ströme gibt, dh im Vakuum, dann ja, das Magnetfeld hat keine Kräuselung. Die meisten üblichen Beispiele für Magnetfelder fallen in diese Kategorie, und es ist durchaus möglich, dass ein Magnetfeld keine Divergenz und keine Kräuselung aufweist (möchten Sie ein einfaches Beispiel? Versuchen Sie es mit einem konstanten Feld).

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass Sie normalerweise möchten, dass Ihr Magnetfeld irgendwo Quellen hat , und dies bedeutet, dass der Zustand im Vakuum vorliegt$\nabla\times\mathbf B=0$gilt nur für eine begrenzte Region im Weltraum. In diesem Sinne ist es möglich, ein Vektorfeld ohne Divergenz und ohne Krümmung über den gesamten Raum definiert zu haben, aber dies erfordert seine magnetische Energie$U=\frac{\mu_0}{2}\int|\mathbf B|^2\mathrm d\mathbf r$unendlich zu sein, was so unphysikalisch ist wie ein statisches Magnetfeld ungleich Null ohne Quellen.

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Wenn Sie jedoch ein zeitabhängiges Feld wünschen, ändert sich das Problem ein gutes Stück. Was die magnetischen Maxwell-Gleichungen betrifft,

$$\nabla\cdot\mathbf B=0 \text{ and } \nabla\times\mathbf B = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J,$$ Jedes Vektorfeld ohne Divergenz kann im Prinzip als Magnetfeld interpretiert werden. Dies erfordert jedoch, dass wir eine Reihe von Quellen finden, $\mathbf J$Und $\rho$, und noch wichtiger ein elektrisches Feld $\mathbf E(\mathbf r,t)$, damit zu gehen, oder das Ganze ist ein bisschen strittig. Das bedeutet also, dass wir Maxwells Gleichungen ein wenig auf den Kopf stellen müssen, und jetzt werden sie $$\begin{align} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}+\mu_0\mathbf J & = \nabla\times\mathbf B \\ \nabla\times\mathbf E & = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \end{align}$$ als zu lösendes Problem $\mathbf E$Und $\mathbf J$, die im Allgemeinen immer lösbar ist.

Welche Bedingungen muss die Kräuselung eines Vektorfeldes erfüllen, um ein Magnetfeld darzustellen?

Wahrscheinlich keine, außer der Maxwell-Gleichung selbst.

Die gleichung

$$\nabla\cdot \mathbf B = 0$$

schränkt die Menge möglicher Magnetfelder ein, weil die rechte Seite zeitlich konstant ist und es keine andere Variable in der Gleichung gibt als$\mathbf B$. Diese Art von Gleichung wird manchmal als Beschränkungsgleichung bezeichnet .

Die gleichung

$$\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf j + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t},$$ hat andererseits keinen konstanten Teil; beide $\mathbf j$Und $\mathbf E$sind unbekannte Funktionen von Zeit und Ort. Diese Gleichung selbst definiert also keine Einschränkung, die eine Reihe von möglichen begrenzt $\mathbf B$.

Wie Hyportnex feststellt, ist die Bedingung für ein statisches Magnetfeld im Vakuum (danke Emilio für die Korrektur) dies$\nabla \times {\bf B} = 0$.

Es ist möglich, dass ein Magnetfeld sowohl eine Null-Divergenz als auch eine Null-Krümmung aufweist. Eine Basis von Lösungen hat die Form${\bf B}_{l,m} \propto - \nabla \left( r^l Y_{l,m}(\theta,\phi) \right)$Wo$Y_{l,m}$sind echte Kugelflächenfunktionen . Ich denke, Jackson nennt diese "inneren Lösungen" für Laplaces Gleichung. Die entsprechenden "Außenlösungen" sind vom Formular${\bf B}_{l,m} \propto -\nabla ( r^{-l-1} Y_{l,m} )$.

Ich denke, der einfachste Weg zu sagen, ob ein bestimmtes Feld plausibel ein Magnetfeld ist, besteht darin, dass es keine Divergenz und keine Kräuselung aufweist, dies gilt jedoch nur für statische Situationen.