Stellen Sie sich eine kreisförmige Drahtschleife (r = 50 mm) vor, der Draht hat einen angenommenen Durchmesser von Null, der in einen torusförmigen Eisenkern mit einem kreisförmigen Querschnitt von R = 10 mm eingebettet ist.

Ein Strom in dieser Schleife würde ein kreisförmiges Magnetfeld um den Draht herum verursachen. Gibt es eine Möglichkeit, den Widerstand dieses Kerns zu berechnen?

Ich suche seit Wochen nach einer Lösung, ohne Erfolg. Eine Lösung für Oberschwingungsströme ist erwünscht, aber ich würde mich sogar über eine DC-Lösung freuen.

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KONTEXT

um zu erklären, was es damit auf sich hat.

Meine reale Geometrie sieht wie folgt aus:

Eine Ringspule, die von einem Kern mit einem Querschnitt eines abgerundeten Rechtecks ​​umgeben ist. Daher interessiert mich die Zurückhaltung des gräulichen Teils (und der anderen Ecken). Wenn Sie alle Ecken zusammenfügen, erhalten Sie den erwähnten Torus. Die grünen Linien sind der magnetische Fluss, das Rechteck in der Mitte die Ringspule.

Bei hohen Frequenzen und/oder hochleitenden und/oder hochpermeablen Materialien ist der Einfluss der Ecken vernachlässigbar, für meinen Fall leider nicht.

Ich vermute, es gibt keine analytische Lösung, aber jede Idee, die mich ihr nahe bringen könnte, würde helfen.

Danke schön!

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Lösungsversuch

Vorwort

Wenn man die Permeanz berechnen will$P$eines rechteckigen Balkens:

Es ist eine leichte Aufgabe:

$$P = \frac{\mu a b}{L} ~~~~ \rightarrow ~~~~ P\propto ab ~~~~and~~~~ P\propto\frac{1}{L}$$

Wo$\mu$ist die Materialkonstante. (Permeabilität)

Aber meine Geometrie ist ein Torus mit nur einem Viertel seines kreisförmigen Querschnitts und dem Feld$V$ durchläuft ihn parallel zum Umfang des (Voll-)Querschnitts:

Wie kann ich die Permeanz dieser Geometrie berechnen, wenn die gleichen proportionalen Beziehungen wie oben bestehen?

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Lösungsversuch

Ich teile meine Geometrie in$N$Hohltorus mit konstanter Wandstärke$\Delta R$und mittellanges Element$\Delta L$, also passiert das Feld einen Bereich von$\Delta A$:

Ein kleines Stück vom Radius$R$Ist$\Delta R = \frac{R}{N}$. Jetzt kann man rechnen:

$$\Delta P_{n} = \frac{\mu \Delta A_n}{\Delta L_n}$$

mit

$$\Delta A_n = \pi \bigg( (r+(n+1) \Delta R)^2-(r+n \Delta R)^2\bigg)$$ (Betrachten Sie den vollen Torusumfang, nicht nur ein Viertel wie angezeigt)

Und

$$\Delta L_n = \frac{\pi}{2} (2n+1) \frac{\Delta R}{2}$$ (aber Viertelquerschnitt!)

folgt:

$$P = \sum^{N-1}_{n=0} \Delta P_{n} = \mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{\pi(2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2)}{\frac{\pi}{2}(2n+1)(\frac{\Delta R}{2})}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2}{(2n+1)(\Delta R)}$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \Bigg( \frac{2r}{(2n+1)} + \Delta R \Bigg)~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu \Bigg( R + 2r \sum^{N-1}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)} \Bigg)~~~~~~~~~~$$

Und diese Reihe konvergiert nicht für$N\rightarrow\infty$. Was physikalisch gesehen nicht möglich ist, also muss es ein Problem mit der Mathematik geben. Siehst du, was mir fehlt?