Wie groß ist der magnetische Fluss durch einen Kleeblattknoten?

Stellen Sie sich eine geschlossene Schleife in Form eines Kleeblattknotens vor ( https://en.wikipedia.org/wiki/Trefoil_knot ). Wie soll man den Fluss durch diese Schleife berechnen? Normalerweise definieren wir eine beliebige glatte Oberfläche, sagen wir, S dessen Grenze ∂ S ist die gegebene Schleife und berechnen Sie den Fluss unter Verwendung seiner integralen Definition als

(1) Φ B = ∫ S B ⋅ D S
Es ist klar, wie man es benutzt (1) wenn die Schleife eine einfache Schleife ist und die Oberfläche auch eine einfache ist , aber wie kann man eine Oberfläche auf einem Kleeblatt verteilen und es trotzdem wahr sein, dass für solche Oberflächen der Fluss immer derselbe ist, weil ∇ ⋅ B = 0 , mit anderen Worten, wie gilt der Satz von Gauß für Flächen, deren Begrenzung ein Kleeblatt ist?

Alternativ könnte man das Vektorpotential einführen B = ∇ × A und unter Verwendung des Satzes von Stokes aus der Definition des Flusses ableiten (1) Das

(2) Φ A = ∫ S ∇ × A ⋅ D S = ∮ ∂ S A ⋅ D ℓ
Wann immer wir also den Satz von Stokes verwenden können, haben wir auch Φ A = Φ B . Wie gilt der Satz von Stokes, wenn die Schleife ein Kleeblatt ist?

Wenn in der Tat die Anwendung des Satzes von Gauß oder Stokes ein Problem hat, dann die Tatsache, dass das Linienintegral über (2) kann immer verwendet werden, um den Fluss zu definieren Φ A bedeutet das zumindest in diesem Sinne A ist grundlegender als B ?

A ist grundlegender als B ? Dies ist eine Interpretation des Aharanov-Bohm-Effekts . Wikipedia sagt: „Der Aharonov-Bohm-Effekt zeigt, dass der lokale E Und B Felder enthalten keine vollständigen Informationen über das elektromagnetische Feld und das elektromagnetische Vierpotential (Φ, A ), muss stattdessen verwendet werden.“
@G.Smith Die Absicht meiner Frage war, ob wir, falls entweder Gauß oder Stokes für ein Kleeblatt und seine Oberfläche scheitern würden, A bereits im klassischen EM zu Recht als grundlegender als B betrachten würden . Wie ich gerade von J.Murray und ChiralAnomaly gelernt habe, dass Gauß/Stokes immer gelten, da es immer eine orientierbare Oberfläche für jede Kontur gibt, ist diese Frage in der Tat irrelevant, aber nicht wegen Aharonov-Bohm.

Antworten (2)

Jeder Knoten ist die Grenze einer orientierbaren Fläche. Eine solche Fläche wird als Seifert-Fläche bezeichnet . † Für jeden gegebenen Knoten (mit einer gegebenen Einbettung im 3D-Raum) ist der Fluss durch zwei solche Oberflächen derselbe. Wie üblich kann der Fluss entweder durch Integration berechnet werden B über die Oberfläche oder durch Integration A um den Knoten.

Abbildung 6 in "Visualization of Seifert Surfaces" von van Wijk und Cohen ( Link zu pdf ) zeigt dieses schöne Bild einer orientierbaren Oberfläche, deren Begrenzung ein Kleeblattknoten ist:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Grenze (der Kleeblattknoten) ist gelb hervorgehoben. Um zu sehen, dass es sich wirklich um einen Kleeblattknoten handelt, stellen Sie sich vor, Sie glätten die Knicke und schauen dann von oben auf die Figur. Die Tatsache, dass die Oberfläche orientierbar ist, ist bei Betrachtung klar (ein Insekt auf einer Seite kann nicht zur anderen Seite gehen, ohne die Grenze zu überschreiten), ebenso wie die Tatsache, dass sie sich nicht selbst schneidet.

Intuitiv können wir sehen, dass der Satz von Stokes in diesem Fall immer noch funktioniert, indem wir die Oberfläche in kleine Zellen unterteilen, jede mit dem Knoten als Grenze, und den Satz von Stokes auf jede einzelne Zelle anwenden. Die Beiträge von den Zelloberflächen summieren sich zum Fluss über die gesamte Oberfläche, und die Beiträge von den Zellgrenzen heben sich gegenseitig auf, wo zwei Grenzen benachbart sind, wobei nur das Integral über dem Kleeblatt übrig bleibt.

Wir können auch intuitiv sehen, dass der Fluss durch zwei beliebige solcher Oberflächen gleich sein muss, da diese beiden Oberflächen zu einer einzigen geschlossenen Oberfläche verbunden werden können, über der der Gesamtfluss aufgrund von Null sein muss ∇ ⋅ B = 0 . Die Tatsache, dass die geschlossene Fläche sich selbst schneiden könnte, ist kein Problem, genauso wie es kein Problem für zwei sich schneidende Flächen ist, die denselben Knoten wie die Grenze teilen.

† Die Idee hinter dem Beweis, dass eine Seifert-Fläche existiert, ist skizziert in "Seifert surface and genera of knots" von Landry ( link to pdf ).

Für einen generischen, orientierten Knoten können Sie durch den Seifert-Algorithmus eine orientierte Oberfläche konstruieren , die den Knoten als Begrenzung hat . Der Satz von Stokes besagt, dass der Fluss durch zwei beliebige solche Oberflächen, die dieselbe Grenze teilen, gleich sein muss.

Im Prinzip könnte man für den Kleeblattknoten eine Seifert-Fläche konstruieren, parametrisieren und dann das Flussintegral auswerten. Das mag mühsam sein, aber es ist möglich. Es wäre jedoch viel einfacher, wie Sie sagen, einfach das Linienintegral von auszuwerten A um den Knoten.

Davon abgesehen ist dies kein Indikator dafür A ist grundlegender als B , weil es kein Problem gibt, diese Flussintegrale zu definieren. Es wäre nur besonders schwierig, sie direkt auszuwerten.

Gibt es für jede (korrigierbare) Kontur immer eine Seifert-Fläche? Sind also alle Konturen "Knoten"?
@hyportnex Ein Knoten ist definiert als eine geschlossene, sich nicht selbst schneidende Kurve, die darin eingebettet ist R 3 , und es ist ein Satz der Knotentheorie, dass jeder Knoten mindestens eine Seifert-Fläche hat.
@hyportnex Chiral Anomaly hat eine wunderbare Antwort mit mehr Intuition und einer schönen Visualisierung dazu geschrieben. Ich wäre überhaupt nicht beleidigt, wenn Sie stattdessen diese akzeptieren würden (und das ist eigentlich ein gutes Argument dafür, eine Weile zu warten, bevor Sie eine Antwort akzeptieren).
Wie groß ist der magnetische Fluss durch einen Kleeblattknoten?
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