Der seltsame Charakter des Operators ∇∇\nabla

Question

Der seltsame Charakter des Operators ∇∇\nabla

Benutzer240696

Ich wurde zum ersten Mal mit den mathematischen Operationen Gradient, Divergenz und Kräuselung nicht in der Mathematik, sondern während meines Studiums des Elektromagnetismus bekannt gemacht. Wie Sie alle wissen, führt das Lernen von Mathematik bei einem Physiklehrer immer zu einigen gigantischen Missverständnissen.

Ich habe diese Divergenz eines Vektorfeldes untersucht $\mathbf A$ Ist

D ich v A = \frac{\partial A_{X}}{\partial X} + \frac{\partial A_{j}}{\partial j} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}

$div~\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

Und in ähnlicher Weise wurden Divergenz und Curl definiert (durch Schreiben von div und curl vor der vektorwertigen Funktion auf LHS). Danach das Symbol $\nabla$ eingeführt wurde, und es wurde in meinem Buch (Feynman Lectures on Physics Vol 2, Griffiths Introduction to Electrodynamics) gesagt, dass $\nabla$ war ein Vektor

\nabla = ⟨ \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial j}, \frac{\partial}{\partial z} ⟩

$\nabla =\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \rangle$ Divergenz ist also unser normales Skalarprodukt, die Divergenz eines beliebigen Vektorfelds

A

$\mathbf{A}$ kann geschrieben werden als

D ich v A = ⟨ \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial j}, \frac{\partial}{\partial z} ⟩ \cdot ⟨ A_{X}, A_{j}, A_{z} ⟩

$div~\mathbf{A} = \langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \rangle ~\cdot~ \langle A_x, A_y , A_z \rangle$

D ich v A = \nabla \cdot A

$div~\mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A}$ Die Divergenz ist also nur das Skalarprodukt von

\nabla

$\nabla$ mit dem Feld, dessen Divergenz wir wollen. Mein erster Zweifel ist, dass wir in der Vektoralgebra schreiben können

A \cdot B = B \cdot A

$\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf B \cdot \mathbf A$ aber wenn es um unsere geht

\nabla

$\nabla$ wir finden

\nabla \cdot A \neq A \cdot \nabla

$\nabla \cdot \mathbf A \neq \mathbf A \cdot \nabla$ die RHS in der obigen Beziehung ist etwas anderes.

Das zweite Problem tritt auf, wenn wir das Produkt definieren $\nabla$ mit einem anderen Vektor, den wir aus der Vektoralgebra kennen

A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)

$\mathbf A \cdot \left( \mathbf B \times \mathbf C \right) = \mathbf B \cdot \left ( \mathbf C \times \mathbf A \right ) = \mathbf C \cdot \left ( \mathbf A \times \mathbf B \right )$ Nun, wenn wir ersetzen

A

$\mathbf A$ von

\nabla

$\nabla$ Dann

\nabla \cdot (B \times C) \neq B \cdot (C \times \nabla) \neq C \cdot (\nabla \times B)

$\nabla \cdot \left ( \mathbf B \times \mathbf C \right) \neq \mathbf B \cdot \left ( \mathbf C \times \nabla \right) \neq \mathbf C \cdot \left ( \nabla \times \mathbf B \right)$

Manche Leute sagen $\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C\right)$ sollte als Derivat eines Produkts angesehen werden, auch wenn wir es so akzeptieren, dann haben wir auch wenige Probleme, wir wissen

\frac{D}{D \vec{R}} (B (\vec{R}) \times C (\vec{R})) = B^{'} (\vec{R}) \times C (\vec{R}) + B (\vec{R}) \times C^{'} (\vec{R})

$\frac{d}{d\vec r} \left( \mathbf B (\vec r) \times \mathbf C (\vec r) \right) = \mathbf B'(\vec r) \times \mathbf C (\vec r) + \mathbf B(\vec r) \times \mathbf C '(\vec r)$ aber ersetzen

\frac{d}{d \vec{r}}

$\frac{d}{d\vec r}$ von

\nabla

$\nabla$ und das RHS so zu schreiben, wie es ist, ist nicht so unbestreitbar, Sie sehen, wir haben viele Möglichkeiten

\nabla \cdot (B \times C) = (\nabla \cdot B) C + B (\nabla \cdot C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left ( \nabla \cdot \mathbf B \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \cdot \mathbf C\right)$

\nabla \cdot (B \times C) = (\nabla \times B) C + B (\nabla \times C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left (\nabla \times \mathbf B \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \times \mathbf C\right)$

\nabla \cdot (B \times C) = (B \times \nabla) C + B (\nabla \times C)

$\nabla \cdot \left (\mathbf B \times \mathbf C \right) = \left ( \mathbf B \times \nabla \right) \mathbf C + \mathbf B \left ( \nabla \times \mathbf C\right)$
Es gibt noch drei weitere, aber ich schreibe sie nicht, da Sie alle eine Vorstellung davon haben, was ich sage. Ich möchte wissen, warum wir uns für dieses entschieden haben

\nabla \cdot (A \times B) = (\nabla \times A) \cdot B + A \cdot (B \times \nabla)

$\nabla \cdot \left( \mathbf A \times \mathbf B \right) = (\nabla \times \mathbf A) \cdot \mathbf B + \mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ von den Anderen.

Ich bitte Sie alle, den eigentlichen Charakter des Betreibers zu beschreiben $\nabla$ und klären Sie meine Zweifel, die ich oben beschrieben habe. Ich brauche eine Erklärung warum $\nabla$ wurde auf so seltsame Weise definiert.

Thomas Fritsch

\nabla

$\mathbf\nabla$ ist ein Operator, dh er soll das auf der rechten Seite geschriebene Ding bearbeiten. Deshalb schreiben

A \cdot \nabla

$\mathbf A\cdot \mathbf\nabla$ macht keinen Sinn. Sie überdehnen nur die Notation.

meine2cts

@ThomasFritsch Es macht Sinn, da es aus der Kettenregel der Differenzierung folgt. Sie können den gesamten Ausdruck als Operator sehen.

meine2cts

Die letzte Gleichung ist falsch, siehe en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities .

Benutzer240696

@my2cts Warum ist es falsch? In dem Link, den Sie im letzten Abschnitt angegeben haben, geben Kreuzproduktregeln die gleiche Gleichung an, die ich geschrieben habe.

Benutzer240696

@my2cts Zeigest du auf

B \times \nabla

$\mathbf B \times \nabla$ ? Ich dachte, wir könnten schreiben

B \times \nabla

$\mathbf B \times \nabla$ als

- \nabla \times B

$- \nabla \times \mathbf B$ und daher wird die Gleichung in Standardform.

Anders Sandberg

Ich denke, dass die Überdehnung der Notation (als Informatiker könnte ich sagen, dass wir sie überladen) das Hauptproblem ist - die Standardbehandlung ignoriert den Operatorcharakter von

\nabla

$\nabla$ , tut so, als wäre es ein Vektor und vermeidet einfach Formeln, bei denen die Dinge seltsam werden, weil die Schüler noch nicht an Operatoren gewöhnt sind.

Benutzer240696

@AndersSanberg Ja, ich stimme dir zu, danke für deine aufmunternden Worte (ich finde sie ermutigend).

meine2cts

A \cdot (B \times \nabla)

$\mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ ist ein Operator, während

A \cdot (\nabla \times B)

$\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ kann ein Operator oder einfach eine Skalarzahl sein. Dies hängt davon ab, wie Sie die interpretieren

\nabla

$\nabla$ . Sie können zulassen, dass alles zu seiner Rechten oder nur das unmittelbar darauf folgende Objekt ausgeführt wird. Im letzteren Fall

A \cdot (\nabla \times B)

$\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ $ hat keine Bedeutung. Das erste, was Sie sich also fragen müssen, ist, ob mein Ausdruck ein Operator ist, der an etwas nach rechts arbeitet, z. B. eine Wellenfunktion, oder ob es sich um eine Zahl handelt.

David Hammen

Re Wie Sie alle wissen, führt das Lernen von Mathematik bei einem Physiklehrer immer zu einigen gigantischen Missverständnissen. Mathematik von einem Mathematiklehrer zu lernen, führt oft zu noch größeren Missverständnissen. Das Problem ist, dass Sie keine Toleranz für Notationsmissbrauch entwickelt haben. Die Mathematik, wie die Physik, ist voll von Schreibfehlern. Anders gesagt: „Der Mathematikstudent muss eine Ambiguitätstoleranz entwickeln. Pedanterie kann der Einsicht schaden.“ Gila Hannah

Benutzer240696

@DavidHammen Ich möchte wirklich, dass Sie eine Antwort schreiben, ich möchte wissen, wie die Notation missbraucht wurde . Also, wenn es Ihnen nichts ausmacht, dann schreiben Sie bitte eine erklärende Antwort. Ich habe aus Kommentaren gelernt, dass ich vorher nichts geschrieben habe

\nabla

$\nabla$ ist ziemlich bedeutungslos.

meine2cts

@Knight Im Gegenteil, es ist völlig klar und konsistent.

Benutzer240696

@my2cts Ich bin ziemlich verwirrt, ob Nabla ein Operator oder ein Vektor oder beides ist?

G. Smith

etwas vor ∇ zu schreiben ist ziemlich bedeutungslos Das ist nicht wahr.

A \cdot \nabla

$\mathbf{A}\cdot\nabla$ ist der skalare Differentialoperator

A_{x} \partial / \partial x + A_{y} \partial / \partial y + A_{z} \partial / \partial z

$A_x\partial/\partial x+A_y\partial/\partial y+A_z\partial/\partial z$ . Ähnlich,

A \times \nabla

$\mathbf{A}\times\nabla$ ist ein wohldefinierter Vektordifferentialoperator.

G. Smith

Ich bin ziemlich verwirrt, ob Nabla ein Operator oder ein Vektor oder beides ist? Is ist ein Vektoroperator . Dies ist nicht dasselbe wie ein Vektor und ein Operator zu sein. Wie Sie gesehen haben, gehorcht es einigen Identitäten nicht, die gewöhnliche Vektoren tun.

G. Smith

Ich dachte, wir könnten 𝐁×∇ als −∇×𝐁 schreiben. Nein. Sie sind nicht dasselbe. Schreiben Sie es einfach in kartesischen Komponenten aus!

G. Smith

seltsamer Charakter des Operators $\nabla$ Sie denken, dass es seltsam ist, weil es der erste Vektoroperator ist, den Sie gesehen haben, und Sie denken, dass es wie jede gewöhnliche Vektorfunktion funktionieren sollte. Das tut es nicht.

Antworten (2)

Der seltsame Charakter des Operators ∇∇\nabla

$\mathbf\nabla$ ist ein Operator, dh er soll das auf der rechten Seite geschriebene Ding bearbeiten. Deshalb schreiben $\mathbf A\cdot \mathbf\nabla$ macht keinen Sinn. Sie überdehnen nur die Notation.
@ThomasFritsch Es macht Sinn, da es aus der Kettenregel der Differenzierung folgt. Sie können den gesamten Ausdruck als Operator sehen.
Die letzte Gleichung ist falsch, siehe en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities .
@my2cts Warum ist es falsch? In dem Link, den Sie im letzten Abschnitt angegeben haben, geben Kreuzproduktregeln die gleiche Gleichung an, die ich geschrieben habe.
@my2cts Zeigest du auf $\mathbf B \times \nabla$ ? Ich dachte, wir könnten schreiben $\mathbf B \times \nabla$ als $- \nabla \times \mathbf B$ und daher wird die Gleichung in Standardform.
Ich denke, dass die Überdehnung der Notation (als Informatiker könnte ich sagen, dass wir sie überladen) das Hauptproblem ist - die Standardbehandlung ignoriert den Operatorcharakter von $\nabla$ , tut so, als wäre es ein Vektor und vermeidet einfach Formeln, bei denen die Dinge seltsam werden, weil die Schüler noch nicht an Operatoren gewöhnt sind.
@AndersSanberg Ja, ich stimme dir zu, danke für deine aufmunternden Worte (ich finde sie ermutigend).
$A \cdot (B \times \nabla)$ $\mathbf A \cdot ( \mathbf B \times \nabla)$ ist ein Operator, während $A \cdot (\nabla \times B)$ $\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ kann ein Operator oder einfach eine Skalarzahl sein. Dies hängt davon ab, wie Sie die interpretieren $\nabla$ . Sie können zulassen, dass alles zu seiner Rechten oder nur das unmittelbar darauf folgende Objekt ausgeführt wird. Im letzteren Fall $\mathbf A \cdot ( \nabla \times \mathbf B )$ $ hat keine Bedeutung. Das erste, was Sie sich also fragen müssen, ist, ob mein Ausdruck ein Operator ist, der an etwas nach rechts arbeitet, z. B. eine Wellenfunktion, oder ob es sich um eine Zahl handelt.
Re Wie Sie alle wissen, führt das Lernen von Mathematik bei einem Physiklehrer immer zu einigen gigantischen Missverständnissen. Mathematik von einem Mathematiklehrer zu lernen, führt oft zu noch größeren Missverständnissen. Das Problem ist, dass Sie keine Toleranz für Notationsmissbrauch entwickelt haben. Die Mathematik, wie die Physik, ist voll von Schreibfehlern. Anders gesagt: „Der Mathematikstudent muss eine Ambiguitätstoleranz entwickeln. Pedanterie kann der Einsicht schaden.“ Gila Hannah
@DavidHammen Ich möchte wirklich, dass Sie eine Antwort schreiben, ich möchte wissen, wie die Notation missbraucht wurde . Also, wenn es Ihnen nichts ausmacht, dann schreiben Sie bitte eine erklärende Antwort. Ich habe aus Kommentaren gelernt, dass ich vorher nichts geschrieben habe $\nabla$ ist ziemlich bedeutungslos.
@my2cts Ich bin ziemlich verwirrt, ob Nabla ein Operator oder ein Vektor oder beides ist?
etwas vor ∇ zu schreiben ist ziemlich bedeutungslos Das ist nicht wahr. $\mathbf{A}\cdot\nabla$ ist der skalare Differentialoperator $A_x\partial/\partial x+A_y\partial/\partial y+A_z\partial/\partial z$ . Ähnlich, $\mathbf{A}\times\nabla$ ist ein wohldefinierter Vektordifferentialoperator.
Ich bin ziemlich verwirrt, ob Nabla ein Operator oder ein Vektor oder beides ist? Is ist ein Vektoroperator . Dies ist nicht dasselbe wie ein Vektor und ein Operator zu sein. Wie Sie gesehen haben, gehorcht es einigen Identitäten nicht, die gewöhnliche Vektoren tun.
Ich dachte, wir könnten 𝐁×∇ als −∇×𝐁 schreiben. Nein. Sie sind nicht dasselbe. Schreiben Sie es einfach in kartesischen Komponenten aus!
seltsamer Charakter des Operators $\nabla$ Sie denken, dass es seltsam ist, weil es der erste Vektoroperator ist, den Sie gesehen haben, und Sie denken, dass es wie jede gewöhnliche Vektorfunktion funktionieren sollte. Das tut es nicht.

Adam Chalcraft · Answer 1

Es ist nicht $\nabla$ das verhält sich seltsam, es ist $\frac{d}{d x}$ . Das merken Sie $A\cdot\nabla\ne\nabla\cdot A$ , womit du meinst $A\cdot\nabla f\ne\nabla\cdot(A f)$ im Allgemeinen für eine Testfunktion $f$ . Aber das stimmt auch $g\frac{d}{d x}\ne\frac{d}{d x}g$ , im gleichen Sinne, dass $g\frac{d f}{d x}\ne\frac{d}{d x}(g f)$ Im Algemeinen. Bei dieser zweiten Aussage geht es um Funktionen $f, g:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ und hat nichts mit Vektoren zu tun. Sie würden nicht daran denken, zu behandeln $\frac{d}{d x}$ als reelle Zahl, also solltest du nicht behandeln $\nabla$ als Vektor und erwarten, dass alles funktioniert.

Zum Guten oder zum Schlechten stellt sich heraus, dass grad, div und curl bequem als geschrieben werden können $\nabla f$ , $\nabla\cdot A$ Und $\nabla\wedge A$ bzw. Es ist Tradition zu schreiben $\nabla^2$ für den Betreiber $\nabla^2 f=\nabla\cdot(\nabla f)$ , und manchmal auch für den Betreiber $\nabla^2 A=\nabla(\nabla\cdot A)$ . Endlich, $\nabla\wedge\nabla=0$ in dem Sinne, dass $\nabla\wedge(\nabla f)=0$ . Aber bei komplizierteren Beziehungen zwischen diesen Operatoren sollten Sie nicht erwarten, dass solch ein Zufall auftritt.

meine2cts · Answer 2

Alle Eigenschaften folgen direkt aus der Definitionsgleichung 2 und der Definition von Skalar- und Vektorprodukten. Übrigens, wenn die Vektoren A, B, C konstant sind , gelten die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Vektoren.

Der beste Weg, mit solchen Größen umzugehen, besteht darin, die Vektor- und Vektorproduktnotation fallen zu lassen und mit dem vollständig antisymmetrischen 3D-Levi-Civita-Tensor zu arbeiten $\epsilon_{ijk}$ , was 1 ist, wenn ijk eine gerade Permutation von 123 ist, -1 wenn es eine ungerade Permutation ist und andernfalls 0. Mit this

\nabla \cdot (A \times B) = \nabla_{ich} ϵ_{ich J k} A_{J} B_{k} .

$\nabla \cdot \left( \mathbf A \times \mathbf B \right) = \nabla_i \epsilon_{ijk} A_j B_k \,.$ Summierung über i,j,k wird verstanden. Eine nützliche Beziehung ist

ϵ_{ich J k} ϵ_{ich l M} = δ_{J l} δ_{k M} - δ_{J M} δ_{k l}

$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl}$ .

Ich entschuldige mich, aber mein mathematisches Wissen hat gerade die Einführung von Tensor erreicht, also bin ich nicht in der Lage, diesen Levi-Civita-Tensor zu verstehen.
Ich habe gelernt, dass Vektoren nur ein Rang-Tensor sind und wir Tensoren in einem Matrix-Array darstellen können. Wie soll ich mit dem Studium der Tensoren beginnen?
In diesem Fall, $\nabla_i\epsilon_{i j k}A_j B_k$ bedeutet $\frac{D}{D X} (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) + \frac{D}{D j} (A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3}) + \frac{D}{D z} (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) .$ $\frac{d}{d x}(A_2 B_3-A_3 B_2)+\frac{d}{d y}(A_3 B_1-A_1 B_3)+\frac{d}{d z}(A_1 B_2-A_2 B_1).$ Wenn Sie mit Tensoren nicht vertraut sind, ist dies meiner persönlichen Meinung nach richtig, aber derzeit nicht der beste Ansatz für Sie.

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