Warum hängen Divergenz und Kräuselung mit Punkt- und Kreuzprodukt zusammen?

Lassen Sie uns zunächst Skalarprodukt und Kreuzprodukt zwischen zwei 3-Vektoren definieren

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$

Skalarprodukt:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_i a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2+ a_3b_3$$

Kreuzprodukt:

$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\a_3 b_1 - a_1 b_3 \\a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$$

Beachten Sie, dass diese Definitionen keine geometrischen Größen wie den Winkel zwischen den beiden Vektoren beinhalten; tatsächlich ist es der Winkel, der durch das Skalarprodukt definiert wird (für die Aufzeichnungen$\cos \theta := \mathbf{a\cdot b}/ \sqrt{\mathbf{(a\cdot a)(b\cdot b)}}$).

Dann haben Sie die Definition von Divergenz und Curl, die auf eine Funktion wirken$\mathbf{f}(\mathbf{x}) \equiv \begin{pmatrix}f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), f_3(\mathbf{x})\end{pmatrix}$($\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3)$; Du kannst anrufen$x_1=x$,$x_2=y$Und$x_3=z$aber meine Auswahl erlaubt eine kompakte Notation):

Abweichung :

$$\mathrm{div}\, \mathbf{f} := \frac{\partial }{\partial x_1} f_1+\frac{\partial }{\partial x_2} f_2+\frac{\partial }{\partial x_3} f_3 = \sum_i \frac{\partial }{\partial x_i}f_i \equiv \sum_i {\partial_i}f_i$$ Wo $\partial_i \equiv \partial / \partial x_i$.

kräuseln :

$$\mathrm{curl} \,\mathbf{f} := \begin{pmatrix} \partial_2 f_3 - {\partial_3 f_2} \\ \partial_3 f_1 - \partial_1 f_3 \\ \partial_1 f_2 - \partial_2 F_1\end{pmatrix}$$

Das sieht man jetzt, wenn man die Menge einführt

$$\nabla = \begin{pmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \partial_3 \end{pmatrix}$$ Sie können die Operationen von Divergenz und Kräuselung so schreiben, als ob $\nabla$war ein Vektor! In der Tat, wenn Sie die Definition von Punkt- und Kreuzprodukt anwenden, können Sie das leicht herausfinden $$\nabla \cdot \mathbf{f} = \mathrm{div}\, \mathbf{f} \qquad \text{and} \qquad \nabla \times \mathbf{f} = \mathrm{curl}\, \mathbf{f}$$ Sie können feststellen, dass viele Identitäten, die für 3-Vektoren gelten, immer noch gelten, wenn einer von ihnen ist $\nabla$.

Aber beachten Sie, dass dieser "Trick" des Denkens zu$\nabla$da ein 3-Vektor formal ist und nicht alle Identitäten, die für übliche 3-Vektoren gelten, weiter funktionieren.

Die etwas unbekümmerte Art und Weise, wie Operatoren in der Physik verwendet und notiert werden (besonders wenn man QM erreicht), hat mich immer ein wenig gestört, daher kann ich es definitiv nachvollziehen. Lassen Sie uns zunächst einige Begriffe definieren.

Wir definieren den Gradientenoperator$\vec{\nabla}$als Vektor partieller Ableitungen entlang jeder Koordinate. Hier gehen wir vom kartesischen aus, da es am einfachsten zu handhaben ist (Griffiths stellt die Formen für zylindrische und sphärische Koordinaten auf der Titelseite zur Verfügung):

$$\vec{\nabla}=\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$$

Dies kann auf eine Skalarfunktion angewendet werden$f$erhalten$\vec{\nabla}f=\frac{\partial f}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\hat{z}$.

Die Divergenz einer Vektorfunktion$\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$kann durch div gegeben werden$\vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}$. Wenn wir versuchen, das "Punktprodukt" von zu bilden$\vec{\nabla}$Und$\vec{v}$, multiplizieren wir die Größe jeder Komponente mit der Größe derselben Komponente des anderen Vektors und addieren dann. Dabei wenden wir die Ableitungsoperatoren an, die die Komponenten von sind$\vec{\nabla}$, also bekommen wir etwas, das mit div identisch ist$\vec{v}$. Aus diesem Grund können wir, obwohl die Argumentation aus mathematischer Sicht immer noch etwas schnell und locker ist, vernünftigerweise schreiben:

div$\vec{v}=\vec{\nabla}\cdot \vec{v}$.

Ein ähnliches Argument wie das obige ergibt:

kräuseln$\vec{v}=\vec{\nabla}\times\vec{v}$.

Der Mechanismus der Divergenz als Punktprodukt wurde durch andere Antworten gut erklärt. Ich werde einige ziemlich informelle, aber intuitive Beobachtungen einführen, die Sie davon überzeugen können, warum die Locke ein Kreuzprodukt ist.

1. Die Rechte-Hand-Regel für Kreuzprodukte folgt natürlich in die Locke. Erinnern Sie sich daran, dass die Rechte-Hand-Regel Ihnen sagt, in welche Richtung der von einem Kreuzprodukt erzeugte Vektor zeigen wird. Dies ist notwendig, weil das Kreuzprodukt uns einen Vektor liefert, der orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren ist, aber es gibt eine Mehrdeutigkeit, da es mehr als gibt ein Vektor, der die Orthogonalität erfüllt. Betrachten Sie nun das folgende Vektorfeld:

Kräuseln Sie die Finger in Ihrer rechten Hand und Sie werden feststellen, dass Ihr Daumen in die Richtung zeigt, in die alle Vektoren im Diagramm der Kräuselung des oben genannten Felds zeigen:

Sie haben gerade das Kreuzprodukt des Del-Operators mit dem Vektorfeld genommen, und die resultierende Darstellung der Locke stimmt mit der Regel für die rechte Hand überein.

2. Das Drehmoment, das auf einen winzigen Stab ausgeübt wird, der in seinem Zentrum in einem Vektorfeld (Bild Winde oder sich bewegendes Wasser) festgehalten wird, ist proportional zur Kräuselung des Vektorfelds an diesem Punkt. Dies liegt sowohl an der Intuition als auch an der Tatsache, dass das Drehmoment als die Kraft definiert ist, die sich mit dem Abstand vom Drehpunkt kreuzt, auf den die Kraft ausgeübt wurde.

Ich liebe diese Frage und war sehr neugierig darauf, also habe ich auf einem 3blue1brown-Video aufgebaut, um sie mit dem folgenden Video zu beantworten. Ich würde argumentieren, dass man Divergenz, Curl oder Maxwells Gleichungen nicht vollständig versteht / schätzt, es sei denn, sie verstehen dies. Hier die Kurzversion:

Diese Verbindung ist schwer vorstellbar, da der del-Operator$\nabla ,$ist kein typischer Vektor. Wie ein Parasit oder ein Virus ist es allein bedeutungslos und braucht einen „Wirt“, auf dem es „operieren“ kann. Sie können es sich zwar nicht als echten Vektor vorstellen, aber Sie können es wie einen behandeln und die Standardprozesse für Punkt- und Kreuzprodukte verwenden. Dies ergibt die unten gezeigten Gleichungen für die Divergenz und die Kräuselung, die einfach darauf hinauslaufen, 4 Komponenten zu finden:$\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x},$Und$\frac{\partial P}{\partial y}$.

Wenn dein$\frac{\partial P}{\partial x}$Und$\frac{\partial Q}{\partial y}$positiv sind, bedeutet dies die$x$Und$y$Komponenten Ihrer Vektoren werden größer, wenn Sie sich in bewegen$x$Und$y$Richtung, was einer positiven Divergenz entspricht. Wenn dein$\frac{\partial Q}{\partial x}$Und$\frac{\partial P}{\partial y}$positiv bzw. negativ sind, das heißt die$y$Und$-x$Komponenten Ihrer Vektoren werden größer, wenn Sie sich in bewegen$x$Und$y$Richtung, die einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn oder einer positiven Kräuselung entspricht.

Das unten dargestellte Vektorfeld hat ein größeres Positiv$\frac{\Delta P}{\Delta x}$Wert als es negativ ist$\frac{\Delta Q}{\Delta y}$Wert, was einer leicht positiven Divergenz entspricht. Es hat auch etwas Positives$\frac{\Delta Q}{\Delta x},$und negativ$\frac{\Delta P}{\Delta y}$, was einer positiven Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) entspricht.

Ich versuche, dies im Video klarer zu erklären, wenn Sie es sich ansehen möchten, und lassen Sie es mich wissen, wenn Sie weiter diskutieren möchten! https://youtu.be/k7WyPNWerN0