Kräuselung des elektrischen Felds aufgrund von Punktladung am Ursprung und Divergenz des magnetischen Felds aufgrund eines unendlich stromführenden Drahts am Ursprung

Question

Kräuselung des elektrischen Felds aufgrund von Punktladung am Ursprung und Divergenz des magnetischen Felds aufgrund eines unendlich stromführenden Drahts am Ursprung

Physik
Vektorfelder
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Benutzer285600

$\nabla\times E = 0/(r^2\sin\theta)$ Wo $\theta$ ist der Polarwinkel. Deutlich $\nabla \times E = 0$ für alle $r$ außer $r=0$ . Aber wie kommen wir darauf $\nabla\times E$ bei $r=0$ ?

Man kann sicherlich argumentieren, dass die vom elektrostatischen Feld geleistete Arbeit um jeden geschlossenen Pfad, der den Ursprung umschließt, Null ist und daher die Kräuselung überall außer dem Ursprung Null ist und das Oberflächenintegral der Kräuselung Null ist $\nabla\times E = 0$ bei r = 0 unter Verwendung des Satzes von Stokes.

Aber wie können wir den Satz von Stokes in diesem Fall überhaupt anwenden, da das Vektorfeld im Ursprung überhaupt nicht definiert ist? Wir brauchen ein überall auf der Fläche differenzierbares Vektorfeld, auf dem wir das Flächenintegral von curl in Stokes' berechnen.

Ähnlich $\nabla\cdot B$ überall außer $r=0$ .

R. Schmirgel

\nabla \times F

$\nabla \times F$ Und

\nabla \cdot F

$\nabla \cdot F$

R. Schmirgel

\nabla \times F = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \hat{ı} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \hat{ȷ} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{k} = [\begin{matrix} \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} \end{matrix}]

$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$

R. Schmirgel

div F = \nabla \cdot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_{x}, F_{y}, F_{z}) = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z}

$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Antworten (2)

Kräuselung des elektrischen Felds aufgrund von Punktladung am Ursprung und Divergenz des magnetischen Felds aufgrund eines unendlich stromführenden Drahts am Ursprung

$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$
$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

Frobenius · Answer 1

Beachten Sie, dass für ein Vektorfeld, wie das elektrische $\mathbf{E}$ , eine äquivalente Definition der Locke ⁽¹⁾ an einem Punkt $\mathrm P$ (basierend auf seinen Eigenschaften) ist

\begin{matrix} (01) & {(\nabla \times E)}_{P} \cdot N \overset{def}{= =} lim_{A \to 0} \frac{1}{| A |} \oint_{C} E \cdot D R \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right)_{\mathrm P}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{n}\stackrel{\texttt{def}}{\boldsymbol{=\!=}}\lim\limits_{A \boldsymbol{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\boldsymbol{\vert}A\boldsymbol{\vert}}\oint_{C}\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathrm d\mathbf{r} \tag{01}\label{01} \end{equation}$ wobei das Linienintegral entlang der Grenze berechnet wird

C

$C$ Der Fläche

A

$A$ fraglich,

| A |

$\boldsymbol{\vert}A\boldsymbol{\vert}$ die Größe der Fläche ist. Diese Gleichung definiert die Projektion der Locke von

E

$\mathbf{E}$ auf zu

n

$\mathbf{n}$ . Die infinitesimalen Flächen, die durch begrenzt werden

C

$C$ haben

n

$\mathbf{n}$ wie ihre Normalität.

C

$C$ orientiert sich an der Rechtshandregel. Wenn

C

$C$ ist immer ein Kreis mit Mittelpunkt der Punktladung im Linienintegral der rechten Seite der Gleichung

(01)

$\eqref{01}$ , der Null ist, der Wert von

E_{q}

$\mathbf{E}_{\mathrm q}$ an dem punkt ladung nirgends und nie verwendet wird.

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Ähnlich für ein Vektorfeld, wie das magnetische $\mathbf{B}$ , eine äquivalente Definition der Divergenz ⁽²⁾ an einem Punkt $\mathrm P$ (basierend auf seinen Eigenschaften) ist

\begin{matrix} (02) & {(\nabla \cdot B)}_{P} \overset{def}{= =} lim_{v \to 0} \frac{1}{| v |} \iint_{S (v)} B \cdot N D S \end{matrix}

$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B} \right)_{\mathrm P} \stackrel{\texttt{def}}{\boldsymbol{=\!=}}\lim\limits_{V \boldsymbol{\rightarrow}0}\dfrac{1}{\boldsymbol{\vert}V\boldsymbol{\vert}}\iint_{S(V)}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\,\mathrm dS \tag{02}\label{02} \end{equation}$ Wo

| V |

$\boldsymbol{\vert}V\boldsymbol{\vert}$ ist das Volumen von

V

$V$ ,

S (V)

$S(V)$ ist die Grenze von

V

$V$ , Und

n

$\mathbf{n}$ ist die äußere Einheit senkrecht zu dieser Oberfläche. Es kann gezeigt werden, dass die obige Grenze für jede Folge von Volumes, die enthalten, immer gegen denselben Wert konvergiert

P

$\mathrm P$ und nähern sich dem Nullvolumen. Das Ergebnis,

\nabla \cdot B

$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}$ , ist eine Skalarfunktion der Koordinaten von

P

$\mathrm P$ . Wenn

V

$V$ ist immer ein gerader Zylinder mit Achse um den Draht an der Spitze

P

$\mathrm P$ dann Oberflächenintegral in der rechten Seite der Gleichung

(02)

$\eqref{02}$ ist Null.

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

^{(1) Curl (Mathematik)}

^{(2) Divergenz}

Ja, da der Zähler in der Grenze in RHS immer Null ist, ist Curl E = 0 überall, einschließlich des Ursprungs. Rechts ?

meine2cts · Answer 2

Curl E ist Null für endliches r. Auch ein Konturintegral ist Null für eine Kontur, die den Ursprung vermeidet. Daher ist das Oberflächenintegral über jede Oberfläche der Locke E Null. Betrachten Sie nun eine Fläche durch den durch diese Kontur begrenzten Ursprung. Wir wissen, dass alle Punkte außer dem Ursprung Null beitragen und die Gesamtsumme genau Null ist. Dann muss auch der Ursprung Null beitragen.

Definieren wir also zwangsweise Curl E = 0 am Ursprung, um den Satz von Stokes anwendbar zu machen?

Kräuselung des elektrischen Felds aufgrund von Punktladung am Ursprung und Divergenz des magnetischen Felds aufgrund eines unendlich stromführenden Drahts am Ursprung

Benutzer285600

R. Schmirgel

R. Schmirgel

R. Schmirgel

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