Was bedeutet es, in Bezug auf Vektorpotentiale einzigartig zu sein?

Im Folgenden verwende ich Planck-Einheiten, für die insbesondere$c = \epsilon_{0} = =1$.

Tatsächlich liefert das vollständige System der Maxwell-Gleichungen die Aussage, dass die einzigen zwei Vektorkomponenten des EM-Felds$\mathbf E, \mathbf B$unabhängig sind (im Allgemeinen aus einem tiefen Symmetriegrund, nämlich dass ein masseloses Teilchen nur zwei Polarisationen hat). Als nächstes, wenn wir EM-Feld in Bezug auf 4-Potential schreiben

$$A_{\mu} \equiv \left( V, \mathbf A\right)_{\mu}$$ (Zum Beispiel, $A_{0} \equiv V$), $$\mathbf E = -\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - \nabla V, \quad \mathbf B = \nabla \times \mathbf A,$$ Wir fügen eine neue unphysikalische Eichsymmetrietransformation hinzu $$\tag 1 V \to V + \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \quad \mathbf A \to \mathbf A - \nabla \varphi ,$$ unter welchen $\mathbf E, \mathbf B$ist unverändert: $$\mathbf E \to \mathbf E, \quad \mathbf B \to \mathbf B$$ Dh, $A_{\mu}$ist nicht einzigartig . Außerdem scheint es, dass das 4-Potential, ohne einige Bedingungen aufzuerlegen, 4 Komponenten hat, während diese Zahl 2 sein muss, entsprechend der Anzahl der unabhängigen Komponenten von $\mathbf E, \mathbf B$. Ist das ein Problem? NEIN.

Wir müssen das genaue Schema der Reduzierung der Anzahl der Komponenten konstruieren, das das Problem der Eindeutigkeit des 4-Potentials beinhaltet . Die Eichsymmetrie ist unphysikalisch, also können wir sie zuerst beheben$\varphi$In$(1)$durch Auferlegen sogenannter Lehrenbedingungen, die drei unabhängige Komponenten aus belassen$A_{\mu}$statt vier. Es kann zum Beispiel eine Coulomb-Eichbedingung sein,

$$\nabla \cdot \mathbf A = 0,$$ oder Lorentz-invariante Bedingung, wie z $$\partial_{\mu}A^{\mu} = \frac{\partial V}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf A = 0$$ Als nächstes reduzieren wir die Anzahl der Komponenten von drei auf zwei, indem wir die erste Maxwell-Gleichung verwenden, die als Gaußsches Gesetz bezeichnet wird, da sie tatsächlich die Grenze ist, da sie keine ersten Ableitungen von enthält $\mathbf E$oder entsprechend zweite zeitliche Ableitungen von $A_{\mu}$(es beschreibt keine propagierten Freiheitsgrade). Zum Beispiel nimmt diese Gleichung für das Coulomb-Eichmaß die Form an $$\nabla \cdot \mathbf E = -\Delta V - \frac{\partial (\nabla \cdot \mathbf A )}{\partial t} = -\Delta V = 4 \pi \rho ,$$ woraus wir das skalare Potential als Funktion der Ladungsdichte haben. Für $\rho = 0$, was im Fall der Magnetostatik gilt, können wir einfach setzen $V$bis Null.

Damit reduzieren wir die Anzahl der$A_{\mu}$von vier auf zwei, wie es sein muss, und das Problem der Eindeutigkeit lösen.

Fassen wir zusammen: Wenn wir das Gaußsche Gesetz als Grenze verwendet haben, dh wenn wir die Anzahl der Komponenten des 4-Potentials von vier auf drei reduziert haben, müssen wir es nur eindeutig festlegen, indem wir eine solche Eichbedingung auferlegen. denn ohne dies ist das 4-Potential nur bis zur unphysikalischen Umwandlung bestimmt.

$\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d}#2}}\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\div}[1]{\nabla \cdot #1} \newcommand{\pdvt}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\curl}[1]{\nabla \times \vec{ #1}}$Ich nehme an, Sie wissen, wie man die Maxwell-Gleichungen im Vakuum löst. Am Ende erhalten Sie einen Ausdruck der Form:

$$\nabla^2\phi = - \pdv {} t(\div \vec A) \quad \text{and}\quad \nabla(\div \vec A)+ \nabla \left( \pdv \phi t \right) + \pdvt{\vec A} t= \Delta \vec A \tag 1$$

wo ich genommen habe$\varepsilon_0= \mu_0 = c =1$Und

$$-\nabla \phi = \vec E + \pdv A t \tag 2 \quad \text{and} \quad \vec B = \curl A$$ wie gewohnt u $\Delta$ist der vektorielle Laplace-Operator. Sie wissen das jeder $\vec A' = \vec A + \nabla f$auch Blätter $\vec B$unveränderlich. Deshalb sagen wir $\vec A$ist nicht einzigartig. Beachten Sie jedoch, dass Sie auch ändern müssen $\phi$Um die Maxwell-Gleichung invariant zu lassen, müssen Sie also eine andere nehmen $\phi'$mit

$$\phi' = \phi - \pdv f t$$

was leicht aus Gl$(2)$. Wir wollen diese Mehrdeutigkeit beheben und auch die Gl.$(1)$schöner aussehen. So wählen wir$\div A = - \left( \pdv \phi t\right)$so dass die Gl$(1)$wird:

$$\nabla^2 \phi = \pdvt \phi t \qquad \pdvt {\vec A} t = \Delta \vec A$$

Dies ist die sogenannte Lorentz-Lehre. Beachten Sie, dass$\vec A$ist immer noch nicht zu einzigartig dh$\vec A' = \vec A + \nabla f$löst auch die Gleichungen für jede Funktion zufriedenstellend$\nabla^2 f = \pdvt f t$. Um zu beheben$\vec A$vollständig müssen Sie Randbedingungen auferlegen.

Wenn wir hätten$\pdv \phi t = \pdv A t=0$, dann die Wahl der Divergenz von$\vec A$wäre$\div { \vec A} = 0$die auch als Coulomb-Eichung bezeichnet wird.

Dies ist nicht so ordentlich wie die Antwort von Name YYY, aber ohne Kenntnisse über Tensoren und spezielle Relativitätstheorie sollte es meiner Meinung nach ausreichen.