War Maxwells Verschiebungsstrom die einzige Möglichkeit, das Ampèresche Gesetz zu korrigieren?

Es ist bekannt, dass Maxwell den Begriff des Verschiebungsstroms zum Ampère-Gesetz hinzugefügt hat, um die Elektrodynamik zu vervollständigen. Da es im modernen Kontext gelehrt wird (ich lese gerade Griffiths Text, Introduction to Electrodynamics ), können wir die Hinzufügung des Verschiebungsstromterms begründen, indem wir anmerken, dass seine Hinzufügung zu den Maxwell-Gleichungen bedeutet, dass die Maxwell-Gleichungen die Kontinuitätsgleichung implizieren. Wie Griffiths anmerkt, ist diese Nettigkeit (die Tatsache, dass die Kontinuitätsgleichung aus den Maxwell-Gleichungen herausfällt) jedoch kein unwiderlegbarer Beweis dafür, dass die Hinzufügung der spezifischen Form des Verschiebungsstromterms notwendigerweise korrekt ist. Tatsächlich sagt er, dass es "immerhin andere Möglichkeiten geben könnte, das Ampère-Gesetz zu verbessern". Meine Frage ist daher zweigeteilt:

(1) Stimmt es, wie Griffiths sagt, dass es denkbar ist, andere Wege zu finden, um das Ampere-Gesetz zu „korrigieren“? Das heißt, können wir lassen

∇ × B = μ 0 J + v
für eine beliebige Vektorfunktion v und trotzdem eine konsistente Theorie entwickeln? Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier "eine konsistente Theorie" definieren soll, aber vielleicht können wir ungefähr sagen, dass eine konsistente Theorie keine Widersprüche mit den anderen drei Maxwell-Gleichungen (mathematisch gesprochen) bedeuten würde. Zumindest für mich würde ich vermuten, dass die Antwort "Ja" lautet, da das Problem (zumindest wie es in der moderneren Sprache der Vektorrechnung im Vergleich zu dem, was Maxwell tat, verstanden wird) mit dem Amperegesetz ohne Maxwells Korrektur darin besteht die Divergenz der rechten Seite verschwindet im Allgemeinen nicht, wie es sein muss. Daher würden wir dies fordern (unter Verwendung der Kontinuität und des Gaußschen Gesetzes)
∇ ⋅ v = − ∇ ⋅ ( μ 0 J ) = μ 0 ∂ ρ ∂ T = μ 0 ∇ ⋅ ( ϵ 0 ∂ E ∂ T )
aber natürlich spezifiziert die Divergenz einer Vektorfunktion diese Vektorfunktion nicht vollständig. Allerdings vorausgesetzt, wir wählen v Um das Obige zu erfüllen und die experimentelle Überprüfung für den Moment beiseite zu legen, würde man etwas anderes wählen v die Struktur von Maxwells Theorie woanders brechen?

(2) Griffiths geht nun auf die experimentelle Überprüfung ein und sagt, dass die Entdeckung von EM-Wellen durch Hertz die Wahl von Maxwell für den Begriff des Verschiebungsstroms bestätigte. Ich verstehe, dass Maxwells Gleichungen Wellenlösungen implizieren, die experimentell beobachtet wurden, aber vielleicht kann jemand (sogar auf hohem Niveau) erklären, warum jede andere Wahl des Verschiebungsstromterms zu Inkonsistenzen mit dem Experiment geführt hätte (vorausgesetzt, mein Versuch zu antworten ( 1) oben war richtig für, wenn es mathematische Inkonsistenzen gibt, dann sind wir fertig).

Siehe diese Frage . für einen klassischen Fall des Verschiebungsstroms zum Laden eines Kondensators.
Hallo @wyphan, und danke für die Antwort. Tatsächlich habe ich diese Frage gesehen, aber sie zielt auf etwas ganz anderes ab als das, was ich frage. Ich frage nicht, warum der Verschiebungsstromterm notwendig ist und wie er sich im Spezialfall einer Kondensatorladung physikalisch "manifestiert". Bei dieser Frage geht es darum, ob es theoretisch möglich war, das Amperesche Gesetz mit einer anderen Vektorfunktion auszubessern. Es sind verwandte, aber dennoch sehr unterschiedliche Fragen.
Stellen Sie eine Frage zur Geschichte, damit Antworten nur experimentelle Daten verwenden dürfen, die Maxwell bekannt waren? Oder stellen Sie eine pädagogische Frage, auf welche Einschränkungen wir schließen könnten? v Heute? Und stellen Sie eine quantitative Frage, wie viel Abweichung vom üblichen Verschiebungsterm die experimentellen Unsicherheiten überschreiten würde? Oder stellen Sie eine qualitative Frage, inwiefern der übliche Verschiebungsterm die einfachste Wahl ist, die mit Experimenten kompatibel ist?
@ChiralAnomaly Ich gebe zu, dass ich vermutlich beide Fragen stelle. Teil (1) meiner obigen Frage ist eine mathematische, die nach den mathematischen Einschränkungen fragt v und in Teil (2) frage ich nach der experimentellen Bestätigung der Wahl des Verschiebungsterms.
Entschuldigung, mein Kommentar war nicht klar. Ich habe nicht vorgeschlagen, dass Sie die eine oder andere der Fragen 1 und 2 auswählen sollten. Ich bat um Klärung von Frage 2, dem experimentellen Teil der Frage.
Warten Sie, Ihre Frage fragt also im Grunde, ob es noch andere Gleichungssätze gibt E → Und B → die (i) die Kontinuitätsgleichung erfüllen ( ∇ ⋅ J → = − ∂ T ρ ) und (ii) zu elektromagnetischen Wellen führen (aber sind das nicht Maxwells Gleichungen)?
@najkim Ich nehme an, wenn EM-Wellen tatsächlich die experimentelle Bestätigung sind, zu der nur Maxwells Wahl des Verschiebungsterms führen könnte?
@ 1729_SR Hmmm, wenn Sie davon ausgehen können, dass es Wave-Eq-Lösungen geben muss E → Und B → Ausbreitung mit Geschwindigkeit 1 / μ 0 ϵ 0 , dann, nach Griffiths Abschnitt 9.2.1, ∇ 2 E , B = μ 0 ϵ 0 ∂ T 2 E → , B → ; Das Amperesche Gesetz müsste die Form haben ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ T E + v → Wo v → ist eine Funktion mit Null-Curl und Null-Divergenz (seit B hat keine Divergenz). Dann können Sie Helmholtz-Auflagen auferlegen v → (Anhang B von Griffiths), um das zu sehen v → muss gleich sein 0 → .

Antworten (1)

Die korrekte, umfassende und unumstößliche Art, den Begriff zu erklären, ist die Verwendung der speziellen Relativitätstheorie. Sie haben Recht, dass v ohne Experiment und spezielle Relativitätstheorie alles sein kann.

Wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie betrachten, muss v sein ∂ E / ∂ T und es gibt keine andere Theorie, die es mit mathematischer Konsistenz vollständig erklären könnte.

Die spezielle Relativitätstheorie spielt eine sehr wichtige Rolle in der Maxwell-Gleichung, denn wenn Sie eine sich bewegende Ladung haben, die ein Magnetfeld erzeugt, können Sie immer zu einem Referenzrahmen gehen, in dem B null ist.

Aus den Erhaltungssätzen und der speziellen Relativitätstheorie haben wir:

∂ μ F μ v = μ Ö J v

Wo F μ v = ∂ μ A v − ∂ v A μ Und A μ ist das Vektorpotential. Der F μ ich Begriff ist die Gleichung, nach der Sie suchen.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich habe die spezielle Relativitätstheorie noch nicht studiert, daher habe ich keine Ahnung, ob das, was Sie geschrieben haben, eine Antwort darstellt (meine Schuld, nicht Ihre!). Gibt es eine Möglichkeit zu antworten, ohne sich auf die spezielle Relativitätstheorie zu berufen? Wenn nicht, keine Sorge.
∂ μ F μ v ist irgendwie ein Erhaltungsgesetz. Sie können die Maxwell-Gleichungen aus diesen Erhaltungssätzen leiten. Beachten Sie, dass die Erhaltungsgesetze aus der Symmetrie des Lagrange stammen. In diesem Fall handelt es sich um eine U(1)-Symmetrie. Obwohl ich die spezielle Relativitätstheorie nicht verwendet habe, um Ihre Frage zu beantworten, musste ich fortgeschrittenere Themen verwenden. Unterm Strich hat es mit den Erhaltungssätzen im Zusammenhang mit den Maxwell-Gleichungen zu tun
@KianMaleki ∂ μ F μ v ist kein Erhaltungssatz, sondern nur ein Ausdruck. Die vollständige Gleichung ist ∂ μ F μ v = J v / ϵ 0 , das ist die Bewegungsgleichung des Feldtensors, die in der Lorenz-Eichung in die Wellengleichung der vier Potentiale übergeht.
War Maxwells Verschiebungsstrom die einzige Möglichkeit, das Ampèresche Gesetz zu korrigieren?
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