Wie ist MTWs Ableitung der Maxwell-Faraday-Formel zu interpretieren?

Bei der folgenden Ableitung bin ich mir nicht sicher, wie genau die Komponenten der endgültigen Vektorgleichung aufgestellt werden. Ich vermute, dass dies eine Situation ist, die der Vektoraddition von infinitesimalen Rotationen entspricht. Die Diskussion bezieht sich auf Abschnitt 3.4, der auf Seite 80 von Gravitation von Misner, Thorne und Wheeler beginnt.

Der elektromagnetische Feldtensor wird bestimmt, indem das Lorentz-Kraftgesetz als Ableitung des 3-Impulses in Bezug auf die Eigenzeit und die Energieableitung in Bezug auf die Eigenzeit als Zeitkomponente des 4-Vektors des Teilchenimpulses geschrieben wird. Das heißt, der Tensor des elektromagnetischen Felds wird ohne Rückgriff auf die Maxwell-Gleichungen definiert.

Ziel ist die Ableitung der Maxwell-Farady-Formel, beginnend mit dem invarianten Verschwinden der Divergenz des Magnetfeldes, und den Transformationsgesetzen für das elektrische und magnetische Feld. Wir betrachten einen infinitesimalen Lorentz-Boost$\vec{\beta}$im Positiven$X$Richtung. Die folgende Form des magnetischen Teils der Transformation des elektromagnetischen Felds wird durch Anwendung der Lorentz-Transformation auf den Tensor des elektromagnetischen Felds und Gleichsetzung von Termen hergestellt

$$\begin{bmatrix}\overline{\mathfrak{B}}_{\parallel}\\ \overline{\mathfrak{B}}_{\perp} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathfrak{B}_{\parallel}\\ \gamma\left(\mathfrak{B}_{\bot}-\overset{\rightharpoonup}{\beta}\times\mathfrak{E}_{\bot}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_{x}\\ \gamma\left(B_{y}+\beta E_{z}\right)\\ \gamma\left(B_{z}-\beta E_{y}\right) \end{bmatrix}. \tag1$$

Da unser Boost unendlich klein ist, können wir schreiben$\gamma=1$. Die Transformation der partiellen Ableitungen in Bezug auf Raumkoordinaten für einen infinitesimalen Schub in der$X$Richtung sind

$$\frac{\partial}{\partial\overline{x}}=\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial t};\frac{\partial}{\partial\overline{y}}=\frac{\partial}{\partial y};\frac{\partial}{\partial\overline{z}}=\frac{\partial}{\partial z}.$$

In Bezug auf das Balkensystem nimmt das Divergenzgesetz des Magnetfelds die Form an

$$\overline{\nabla}\cdot\overline{\mathfrak{B}}=0=\frac{\partial B_{\overline{x}}}{\partial\overline{x}}+\frac{\partial B_{\overline{y}}}{\partial\overline{y}}+\frac{\partial B_{\overline{z}}}{\partial\overline{z}}.$$

Wir schreiben dies um, indem wir die gesperrten Begriffe durch ihre nicht gesperrten Äquivalente ersetzen:

$$0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\beta\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial B_{y}+\beta E_{z}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}-\beta E_{y}}{\partial z}.$$

Wir gruppieren Faktoren von$\beta$

$$0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}+\beta\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}\right),$$

Wenden Sie dann das Magnetfelddivergenzgesetz in seiner ungeregelten Form an

$$\nabla\cdot\mathfrak{B}=0=\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z},$$

auf den Zustand zu kommen

$$\frac{\partial B_{x}}{\partial t}+\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=0.$$

Wäre die Geschwindigkeit der Transformation in die gerichtet gewesen$y-$oder$z-$Richtungen, für die eine ähnliche Gleichung erhalten worden wäre$\partial B_{y}/\partial t$oder$\partial B_{z}/\partial t$. In der Sprache der dreidimensionalen Vektoren reduzieren sich diese drei Gleichungen auf eine Gleichung

$$\frac{\partial\mathfrak{B}}{\partial t}+\nabla\times\mathfrak{E}=\mathfrak{0}. \tag2$$

Wenn die betrachteten Boosts in ihrer Größe relativistisch wären, könnten wir die Ergebnisse meines Erachtens nicht als unabhängige Vektorkomponenten betrachten. Meine Unsicherheit bei der Interpretation der zitierten Aussage besteht darin, dass sie impliziert, dass wir unsere Ergebnisse einzeln erhalten, sie aber so kombinieren, als ob sie alle gleichzeitig existieren würden. Würde mir bitte jemand helfen, das zu verstehen?