Tatsächlich bilden die elektrischen und magnetischen Felder einen kombinierten Tensor, der elektromagnetischer Feldtensor genannt wird . Dies ist ein Rang-2-Tensor und hat die Form *

1. Es ist antisymmetrisch (also$F^{12}=-F^{21}$)
2. Es ist spurlos
3. Es hat 16 Elemente, aber nur 6 verschiedene Werte
4. Bei Multiplikation mit seinem dualen Tensor ($G^{\mu\nu}$) gibt es einen Lorentz-Invariantenwert von$4\mathbf{B}\cdot\mathbf{E}$
5. Das innere Produkt,$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2)$, ist ebenfalls eine Lorentz-Invariante

Sie können die Maxwell-Gleichungen auch durch den Tensor durch Anwendung ableiten$\partial_\mu$dazu. Gaußsches Gesetz und Amperesches Gesetz stammen

_{Ich bin Astrophysiker, also verwende ich cgs-Einheiten; in SI haben alle elektrischen Felder einen Faktor von$1/c$.}

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie ein vollständiges geometrisches Verständnis der Maxwell-Gleichungen und ihrer Bedeutung haben.

Die Maxwell-Gleichungen sind ein artenreiches System von PDEs. In der STA-Notation ist es einfach

Das halten wir für selbstverständlich$F$ist ein Bivektor, hat also 6 Komponenten, und das$J$ist ein Vektor, hat also 4 Komponenten. Aber diese Gleichung beschreibt bis zu acht separate Gleichungen. Warum ist das so?

Für ein beliebiges Bivektorfeld$K$, Die Ableitung$\nabla K$kann sowohl Vektor- als auch Trivektorterme haben. Dass die Maxwell-Gleichungen nur einen vektoriellen Quellterm haben, ist eigentlich ziemlich bedeutsam: Das ist Teil des physikalischen Inhalts der Maxwell-Gleichungen. Wir sagen, das EM-Feld wird nur durch einen Vektorstrom bestimmt.

Was würde passieren, wenn es einen Trivektor-Stromquellenterm gäbe? Es wäre eine "magnetische" Ladung (magnetische Monopole) und ein damit verbundener Strom. Wir können also sofort erkennen, was dieser Quellbegriff bedeuten würde.

Aber warte, es gibt noch mehr! Nehmen wir an, wir hatten damals sowohl elektrische als auch magnetische Ströme. Welche Arten von Feldern könnten sie hervorbringen?

Wie Sie zu verstehen versucht haben, sind dies die anderen beiden Komponenten eines Feldes, die in diese Differentialgleichung eingehen könnten. Sie sind ein skalares Feld und ein pseudoskalares Feld. Ich bin nicht damit vertraut, wie sich diese Felder manifestieren oder was sie tun würden.

Warum finden wir es nicht heraus?

Lassen$\lambda$sei das Skalarfeld. Wie würde sich dies auf die Maxwell-Gleichungen mit nur einem aktuellen Quellterm auswirken?

Lassen$F = e_0 E + B$, wobei ich implizit angegeben habe, dass das Magnetfeld ein Bivektor ist . Sie können es stattdessen als Vektor identifizieren und dann überlegen$\epsilon_3 B$, aber der Nettoeffekt ist ziemlich minimal.

Die Maxwell-Gleichungen brechen dann zusammen als

und

Skalarfeld hinzufügen$\lambda$würde nur den Vektorteil mit seinem Gradienten betreffen:

Alles in allem würde dies wahrscheinlich als eine Art zusätzlicher Strom erscheinen, der nicht mit den Bewegungen elektrischer Ladungen verbunden ist – oder vielleicht wäre er in irgendeiner Weise nicht von elektrischen Strömen zu unterscheiden, außer dass er den gesamten Raum als kontinuierliche Funktion durchdringt. Es sieht so aus, als gäbe es gewissermaßen überall Strömungen. Sie können sehen, warum wir die Existenz eines solchen Feldes nicht einmal in Betracht ziehen. Wenn es nicht sehr klein ist, hätten wir es schon vor einiger Zeit entdeckt, da es mit dem Begriff der elektrischen Stromquelle interagiert.

Eine Analyse des magnetischen pseudoskalaren Feldes würde wahrscheinlich genauso enden.

Fehlen dem Faraday-Tensor also tatsächlich zwei zusätzliche Komponenten, ein skalares Feld und ein pseudoskalares Feld? Ich würde nein sagen , aber wenn Sie etwas anderes entdecken, werden Sie wahrscheinlich einen Nobelpreis gewinnen. Viel Glück damit. Wie ich in der anderen Frage sagte, lassen Sie sich nicht täuschen , nur weil das so ist$Fx$acht Komponenten hat, fehlen Komponenten des Faraday-Feldes. Es gibt sehr wahrscheinlich keine derartigen fehlenden Komponenten. Sie können dies sehen, indem Sie überlegen, was diese Komponenten in den Vanilla-Maxwell-Gleichungen tun würden, wie ich es hier getan habe.

Bearbeiten: Einige Korrekturen zur Beziehung zwischen diesem Skalarfeld und der Messgerätfixierung.

Dieses skalare Feld würde die Freiheit zur Veränderung aufheben$A$durch Eichtransformationen, wie$\lambda$würde die Abweichung von angeben$A$. Erinnern Sie sich, dass die Fixierung des Messgeräts von der Fähigkeit abhängt, die Transformation durchzuführen,

Für ein Skalarfeld$\chi$. Dies ist möglich, weil$\nabla \wedge (A + \nabla \chi) = \nabla \wedge A = F$, also bleibt das EM-Feld unverändert.

Doch wenn$\nabla \cdot A = \lambda$, dann würde das Hinzufügen des Gradienten eines Skalarfelds den Wert von ändern$\lambda$messbar, in allen außer den einfachsten Fällen:

Jetzt wären Sie auf Messfunktionen beschränkt$\chi$die streng harmonisch sind. Harmonische Felder sind normalerweise solche, die aus einer Auswahl von Randbedingungen entstehen – dh dies würde einer Auswahl von Randbedingungen entsprechen, und der Feldbeitrag von Strömen wäre unverändert. Natürlich überfordert es die Vorstellungskraft, darüber nachzudenken, wie man dies vernünftigerweise für die Messgerätefixierung tun würde. Und wenn Sie eine Transformation gefunden haben, die bewahrt$\lambda$, es würde nicht gehen$F$allgemein unveränderlich.

Also die angebliche Existenz dieser Funktion$\lambda$tiefgreifende Konsequenzen für die Festsetzung der Spurweite haben würde. Es verbietet es nicht absolut, wie ich ursprünglich dachte, aber es schränkt die Reparatur ernsthaft ein, auf die wir wahrscheinlich schon gestoßen wären.

Dies ist eher ein erweiterter Kommentar, um die Kommentare zu Kyles Antwort anzusprechen

Zum Beispiel, wenn das elektrische und magnetische Feld eine Zeitkomponente hätte

In einem relativistischen Kontext sind die elektrischen und magnetischen Feldkomponenten keine Komponenten getrennter, verwandter Vektorfelder , sondern Komponenten eines Tensorfeldes 2. Rangs; die elektrischen und magnetischen Felder sind Teil eines geometrischen Objekts, nicht zwei.

Ein Hinweis darauf findet sich in der Tat in der Tatsache, dass das Magnetfeld in 3D eher ein Pseudo-Vektorfeld als ein Vektorfeld ist.

Die Frage „Was ist die Zeitkomponente des elektrischen und magnetischen Feldes“ setzt also tatsächlich eine Unwahrheit voraus ; es setzt voraus, dass die elektrischen und magnetischen Felder getrennte, aber verwandte Vierervektoren sind.

Aber das sind sie nicht .

Da ein Tensor des Ranges 2 zwei Indizes hat, können wir eigentlich von der Zeit-Zeit- Komponente, den Zeit-Raum- Komponenten und den Raum-Raum- Komponenten des Tensors sprechen, aber nicht von der Zeit oder den Raumkomponenten.

Ziehen Sie den Faraday-Tensor und seinen Dual mit der 4-Geschwindigkeit zusammen. In Einheiten$c \equiv 1$,

$E^{\alpha} = F^{\alpha \beta} U_{\beta}$

$B_{\alpha} = \ast F_{\alpha \beta} U^{\beta}$

wo$\ast F_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} \ \varepsilon_{\alpha \beta \mu \nu} \ F^{\mu \nu}$.

In einem lokalen Lorentz-Rahmen (mit$c \equiv 1$), kann die 4-Geschwindigkeit geschrieben werden$U_{\alpha} = \gamma \left( 1, \mathbf{v} \right)$, und die elektrischen und magnetischen 4-Vektoren können in bekannterer Notation geschrieben werden,

$E^{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}, \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \ \right)$

$B_{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{B}, \mathbf{B} - \mathbf{v} \times \mathbf{E} \ \right)$

Der Faraday$2$-Tensor$F$Die Beschreibung der elektromagnetischen Feldstärke ist antisymmetrisch, es ist also kein Platz darin$1\!+\!3$Abmessungen für alle zusätzlichen Komponenten außer der$3$elektrisch u$3$magnetische. Das ist einfach, aber warum ist es antisymmetrisch?

Ein Hinweis auf die Natur des elektromagnetischen Feldes kann gefunden werden, indem man die Maxwell-Gleichungen sowohl in Form des Faraday-Tensors ausdrückt$F$und der Maxwell-Tensor$H$:

Bemerkenswert an dieser Form ist, dass sich keine der Maxwell-Gleichungen überhaupt um die Metrik der Raumzeit kümmert. Vielmehr erscheint die Metrik als Teil des Hodge-Sterns in einem separaten Gesetz, das die Maxwell- und Faraday-Tensoren verbindet:

Wenn die drei elektrischen und magnetischen Vektorfelder aus dem vierkomponentigen Vierpotential stammen, gibt es dann eine vierte Komponente für das elektrische und magnetische Feld?

Lassen Sie uns nun die obige Beobachtung in ein Argument umwandeln. Elektromagnetismus ist nicht Gravitation, also brauchen wir vielleicht irgendwann die Metrik, um daraus eine vollständig vorhersagende Theorie zu machen, aber wir sollten in der Lage sein, die Gleichungen, die das elektromagnetische Feld selbst beschreiben, in eine Form zu bringen, die sowohl von der Metrik als auch von der Verbindung unabhängig ist. Daher sollten die Gleichungen des Elektromagnetismus auch dann noch Sinn machen, wenn die Raumzeit weder eine Metrik noch einen Zusammenhang hätte. Was neben der Topologie übrig bleibt, ist die differentielle Struktur .

Schlussfolgerung: Elektromagnetismus muss durch Differentialformen beschreibbar sein, und Differentialformen entsprechen kovarianten antisymmetrischen Tensoren. Im$n$Dimensionen, die Anzahl unabhängiger Komponenten von a$k$-Form ist$C(n,k)$. Wenn wir also wissen, dass sich die elektrischen und magnetischen Felder bei rahmenübergreifenden Transformationen vermischen und daher Teile desselben Tensors sein müssen /$k$-Form, die Gesamtzahl der Komponenten für$n=4$muss einer sein$\{1,4,6\}$.

Haben$4$denn sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld würden machen$8$, also geht das nicht.

Übrigens, wenn wir auch schon wissen, dass die Feldstärke$2$-Form hat ein Potenzial,$F = \mathrm{d}A$, dann$A$muss ein sein$1$-Form und haben vier unabhängige Komponenten ... aber wir hätten nicht erwarten sollen, dass all diese scheinbare Freiheit überhaupt physisch ist, weil$A\mapsto A+\chi$für alle$1$-bilden$\chi$mit$\mathrm{d}\chi = 0$produziert das gleiche$F$. Beachten Sie, dass$F = \mathrm{d}A$impliziert, dass$\mathrm{d}F = 0$, das das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus und das Faradaysche Induktionsgesetz ist.

Die Antworten von Alfred Centauri und Kyle Kanos enthalten sachliche Aussagen, aber das Problem enthält mehr versteckte Geometrie. Es ist wahr, dass die elektrischen und magnetischen Feldvektoren keine echten Vektoren sind, sondern eher Pseudovektoren, wie von Alfred Centauri angegeben, die zu Feldtensoren des Ranges 2 gehören, wie von Kyle Kanos angegeben. Kyle Kanos erwähnte jedoch, dass die Felder aus der äußeren Berechnung stammen$\partial^\mu A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$, was darauf hindeutet, dass die EM-Felder als mögliche Bivektoren des vierdimensionalen Raums verstanden werden können https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector . Mit der Neuzuordnung eines Hodge Dual https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual kann man möglicherweise die Bivektorkomponenten auf vier Komponenten eines Vierervektors der Raumzeit neu abbilden, um die Notation zu verdichten. Dies würde eine mögliche vierte Komponente des EM-Feldes implizieren.