Welche "Form" hat das elektrische Potential einer bewegten Ladung? Lässt sich das Feld als Gradient ableiten?

Dies wird motiviert durch Electricity and Magnetism, 3. Aufl., von Purcell und Morin, Abschnitt 5.6.

Unten ist meine Ableitung der Lorentz-Transformation des elektrischen Feldes aufgrund einer bewegten Ladung, deren Ruhesystem durch nicht gesperrte Komponenten dargestellt wird. Die Ladung Q bewegt sich mit Geschwindigkeit β in die durch angezeigte Richtung ∥ tiefgestellte Koordinaten. Er fällt mit dem 3-Raum-Ursprung des Sperrsystems bei zusammen T = 0.

Wie in dem Buch ausgeführt, verläuft das Feld parallel zur radialen Richtung vom Ursprung, wo sich die sich bewegende Quellenladung augenblicklich befindet, ändert aber seine Stärke mit dem Winkel des radialen Positionsvektors des Testteilchens.

Bei einem statischen Potential ist das Feld einfach der 3-Raum-Gradient des Potentials, und bei einer Punktladung sind sowohl das Potential als auch das elektrische Feld kugelsymmetrisch. Der Gradient zeigt in eine Richtung senkrecht zu Äquipotentialflächen.

Auf einer Ebene, die parallel zur ruhenden Bewegungsrichtung im freien System (Ladungsruhesystem) liegt, zeichnen wir konzentrische Kreise um die Ladung, die Äquipotentialflächen darstellen. Ab dem Sperrsystem werden diese Kreise in Fahrtrichtung verkürzt. Somit sind die Feldvektoren außer at nicht mehr normal zu den Äquipotentialflächen θ = 0 Und θ = π 2 .

Einerseits scheint die Tatsache, dass das elektrische Feld radial von der momentanen Position der sich bewegenden Quellenladung gerichtet ist, intuitiv offensichtlich. Die Lorentz-Kontraktion ist eine affine Transformation von 3-Raum-erhaltenden Linien und Schnittpunkten.

Andererseits scheint das elektrische Feld nicht mehr parallel zum Gradienten des Potentials zu sein, außer in den bereits angesprochenen Spezialfällen.

Gibt es eine Möglichkeit, diesen scheinbaren Widerspruch zu erklären? Kann eine nützliche visuelle Darstellung des Potentials einer sich bewegenden Quellenladung erzeugt werden?

Führen Sie zuerst die Transformationsalgebra durch.

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Setzen Sie die Ergebnisse in den Ausdruck des Coulombschen Gesetzes ein.

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Antworten (1)

Glückwunsch! Sie haben eine wichtige Tatsache über dynamische elektromagnetische Felder entdeckt. Bei dynamischen Feldern ist das elektrische Feld nicht mehr einfach durch den Gradienten des Potentials gegeben v , sondern wird stattdessen durch gegeben

E → = − ∇ → v − ∂ A → ∂ T
Wo A → ist das Vektorpotential (dh das Feld, für das ∇ → × A → = B → .) Im Allgemeinen ist die Gleichung E → = − ∇ → v gilt nur für statische (oder annähernd statische) Felder.

Für weitere Details dazu müssen Sie sich Texte auf höherer Ebene als Purcell & Morin ansehen. Der Standardtext für solches Material, zumindest hier in den USA, ist Introduction to Electrodynamics von Griffiths. IIRC, dieses Material wird in Kapitel 10 behandelt, obwohl Sie ein vollständiges Verständnis der Maxwell-Gleichungen (Kapitel 7) benötigen, bevor Sie sich damit befassen.

Ich bin mit dem Vektorpotential vertraut, und Purcell und Morin führen es ein. feynmanlectures.caltech.edu/II_14.html feynmanlectures.caltech.edu/II_15.html Ich finde es nicht sehr malerisch. Bis zu einem gewissen Grad wirft es die Frage auf, auf die ich versuche zu kommen. Das heißt, wie entsteht Magnetismus aus sich bewegenden elektrischen Feldern. Purcell und Morin scheinen gute Arbeit zu leisten, indem sie die Dinge auf eine Weise behandeln, die für mich interessant ist, und es ist leicht zu lesen.
Welche "Form" hat das elektrische Potential einer bewegten Ladung? Lässt sich das Feld als Gradient ableiten?
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