Ist das elektromagnetische Vektorfeld eine Summe aus E und B?

Es fällt mir schwer, die (klassische) elektromagnetische Feldtheorie in Bezug auf die Helmholtz-Zerlegung vollständig zu verstehen . Lassen Sie mich mit dem Satz von Helmholtz beginnen:

Beliebiges Vektorfeld der Klasse C ∞C∞im R3 _R3kann in die Summe von > zwei anderen Feldern zusammengesetzt werden: eines kräuselfreien und eines divergenzfreien.

F = F1 + F2 _ _F =F1+F2

aber (aufgrund einiger Vektoroperatoridentitäten) können wir F 1 umschreibenF1und F2 _F2zu

F 1 =−∇ F 3

F2= ∇ × F4 _ _

wo

F3 _, F4 _sind Skalar- bzw. Vektorfelder

Wenn wir uns nun der Elektrodynamik zuwenden, wissen wir das im stationären Fall

E = − ∇ϕ _

und

B = ∇ × A

Es passt sehr gut, sodass wir schreiben können, dass das elektromagnetische Feld gleich ist

F E M = E + B =−∇ϕ+∇× A

oder können wir? Warum steht in keinem meiner Bücher oder im Netz geschrieben, dass EM-Feld nur E + B ist? Zum Beispiel gibt Wikipedia an, dass EM eine Kombination aus E istund B. Ja, natürlich ist es eine Kombination (aus Maxwell-Gleichungen), aber das ist keine genaue Aussage. Offensichtlich konnte ich nirgendwo eine Gleichung für das EM-Feld finden (als ein einzelnes Vektorfeld behandelt).

Kann also bitte jemand erläutern, was dieses EM-Feld in Bezug auf E istund Bim Rahmen der Helmholtz-Zerlegung?

Die elektrischen und magnetischen Felder verbinden sich zu einem Objekt, aber dieses Objekt ist ein Tensor, kein Vektor.

Antworten (6)

Lassen Sie mich dies klarer versuchen als die anderen Antworten, die nicht falsch sind. Du fragst:

Kann also bitte jemand erläutern, was dieses EM-Feld in Bezug auf → E istund → Bim Rahmen der Helmholtz-Zerlegung?

Es gibt kein "EM-Feld im Kontext der Helmholtz-Zerlegung" . Helmholtz sagt nur, dass jedes Vektorfeld → Vist zerlegbar als curl und Gradient von zwei anderen Feldern, dh

→ V = → ∇ ϕ+ → ∇ × → A

Sie können dies natürlich für das elektrische oder das magnetische Feld tun, aber dies ist nicht besonders aufschlussreich hinsichtlich der Natur des "EM-Feldes". Ein Feld sollte sich unter Transformationen gut verhalten, und die spezielle Relativitätstheorie mit ihrer Wirkung auf die elektrischen und magnetischen Felder zeigt uns, dass wir sie nicht addieren sollten, sondern stattdessen eine Größe suchen sollten, die sich unter Lorentz-Transformationen gut transformiert:

"Das elektromagnetische Feld" ist äquivalent das Eich-Vier-Potential A(bestehend aus dem skalaren elektrostatischen Potential in den zeitlichen und dem magnetischen Vektorpotential in den räumlichen Einträgen) oder dessen Ableitung, dem Feldstärketensor F = d A. Elektrische und magnetische Felder werden Teil des Tensors als F 0 i= E ich F ich j= ∑ k ϵ ich j k B k

Dies ist "das EM-Feld", aber es hat nichts mit der Helmholtz-Zerlegung zu tun, da der Elektromagnetismus richtig in der vierdimensionalen Umgebung der speziellen Relativitätstheorie betrachtet wird, für die nur die allgemeine Hodge-Zerlegung angewendet werden kann, von der Helmholtz eine ist Sonderfall, aber auch das hat nichts damit zu tun .

Dieses EM-Feld wirkt auf die Vierergeschwindigkeit und reproduziert die Lorentz-Kraft dadurch

d pd t =qF(u)

wo udie Vierergeschwindigkeit ist, und ( F ( u ) ) μ = F μ ν u ν.

Wenn das Feld nicht stationär ist, curl von → Everschwindet nicht. Daher kann man das elektromagnetische Feld im Allgemeinen nicht mit dem kräuselfreien Teil der Zerlegung identifizieren.

Man kann aber durchaus eine komplexe Vektorkombination aus elektrischem und magnetischem Feld einführen, in einem bestimmten Einheitensystem ist es → E + i → H. Dies ist der sogenannte Riemann-Silberstein-Vektor ( http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector ). Es ist manchmal sehr nützlich (zum Beispiel habe ich es in meinen letzten Artikeln verwendet ( http://arxiv.org/abs/1502.02351 und http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (veröffentlicht in J. Math. Phys.)), ist aber nur ein Vektor unter den Transformationen der Rotationsgruppe, nicht der gesamten Lorentzgruppe.

OK, aber im stationären Fall ist E curl-frei, also kann ich schreiben, dass EM = E + B, oder nicht? Können wir andererseits ein anderes als das $E$-Feld definieren, das immer kräuselfrei ist, um der Helmholtz-Theorie zu entsprechen? Oder sind Annahmen über das EM-Feld in dieser Zerlegung vielleicht nicht gültig?
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: Wie ich hier in einem Kommentar zu einer anderen Antwort geschrieben habe: Fragen Sie sich, welches Vektorfeld Sie tatsächlich zu zerlegen versuchen. Ja, im stationären Fall kann man das Vektorfeld $\vec{E}+\vec{H}$ einführen, aber ich habe keine Ahnung, warum es in der Physik nützlich wäre.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers Ich frage mich, ob du meine Antwort gelesen hast? E und B wirken auf unterschiedliche Objekte. E auf elektrische Ladungen q und B auf magnetische Dipole oder durch Ströme erzeugte Magnetfelder. Also, wie auch immer Sie sie schreiben, es sind verschiedene Dinge.
@akhmeteli Ich weiß nicht, ob es nützlich wäre oder nicht, aber wenn etwas getan werden kann, sollte es getan (oder zumindest versucht) werden, also wenn Helmholtz angibt, dass man jedes glatte Feld kräuselfrei und zerlegen kann div-frei, dann sollten wir das tun und die Eigenschaften dieser Komponenten untersuchen. So sehe ich das, und tatsächlich bin ich überrascht, dass es so schwer zu verstehen ist, was ich meine (einige Antworten sind hier völlig thematisch).
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: Können Sie mir also sagen, welches Feld Sie zerlegen werden?
@Sofia: Ich bin mir nicht sicher, ob sie auf verschiedene Objekte wirken: Als Teile des elektromagnetischen Tensors wirken sie auf die Vierergeschwindigkeit, um die Lorentzkraft zu erzeugen ( en.wikipedia.org/wiki/… )
@akhmeteli Nun, das Feld, das sowohl E- als auch B-Felder kombiniert, nennen sie es EM-Feld. Wenn wir nun glauben, dass dieses Feld Helmholtz-Annahmen enthält, und wenn $E$ keine kräuselfreie Komponente ist, was ist es dann? (Ich glaube, wir stimmen darin überein, dass $B$ div-frei ist, da magnetische Monopole nicht gefunden wurden).
@akhmeteli schau dir die Lorentz-Kraft in meiner Antwort an. Ja, das elektrische Feld wirkt nicht auf magnetische Dipole. Aber schau in meine Antwort. E wirkt auf die Ladung durch elektrische Kraft, aber B wirkt auf den magnetischen Dipol oder das magnetische Feld, oder wie man es nennen würde, das durch die Bewegung der Ladung erzeugt wird. Um es allgemein auszudrücken, diese Felder sind so ähnlich wie ein Apfel und ein Stuhl.
@Sofia Sie können nicht sagen, dass E und B völlig unterschiedlich sind, da sie sich über Maxwell-Gleichungen ineinander umwandeln können. Darüber hinaus hängt in der relativistischen Theorie, was E und was B ist, vom Beobachter ab. Nach meinem Verständnis und im Geiste des Helmholtz-Theorems sind E und B nur zwei Unterfelder eines größeren Feldes.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers bitte schau dir genau an, was ich gesagt habe: dass sie auf verschiedene Objekte wirken. Wenn sich eines in ein anderes verwandelt (Lorentz-Transf.), agieren sie natürlich als die Felder, in die sie sich verwandelt haben. Wenn sich E in B umwandelt, fungiert es als B, also nach einer solchen Umwandlung. das erhaltene B-Feld wirkt als B und das erhaltene E-Feld als E. Dennoch wirken sie auf unterschiedliche Objekte. Eine statische Ladung X wirkt durch ein E-Feld auf eine andere statische Ladung Y, aber ein sich bewegender Magnet sieht X als sich bewegend an und erzeugt einen Strom und daher ein Magnetfeld.
@Sofia: und Bewegung ist relativ. Wenn Sie sich den Link ansehen, den ich gegeben habe, wirken sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld auf die 4-Geschwindigkeit, die in gewissem Sinne ein Objekt ist.
@akhmeteli Ich wiederhole, E wirkt auf elektrische Ladung, B auf magnetische Dipole oder Magnetfelder. Auf dem Papier können wir alle möglichen Notationen schreiben, aber eine elektrische Ladung und ein magnetischer Dipol sind zwei verschiedene physikalische Objekte. Sie transformieren, sie haben Notationen, aber auf die gleiche Weise transformieren sich Raum und Zeit relativistisch, aber in dem System, von dem aus Sie schauen, misst die Uhr die Zeit des Systems, nicht die Länge. In dem System, in dem E in B umgewandelt wurde, es fungiert als B.
@Sofia: Ich stimme respektvoll nicht zu.
@akhmeteli, also zieht es in dem System, in dem E in B umgewandelt wurde, Magnete an und lädt sich nicht statisch in Bezug auf dieses System auf.
@akhmeteli Ich habe nicht die Energie, so viel zu streiten. Wir haben nie ein elektrisches Feld gesehen, das einen Magneten anzieht, und ein magnetisches Feld, das eine statische Ladung anzieht. Wir reden hier von Physik, auf dem Papier schreiben wir allerlei. Ich entschuldige mich, aber ich kann nicht. Ich möchte hier raus. Wenn Sie Dinge gesehen haben, die ich nicht gesehen habe, ist das für mich in Ordnung.
Ich hatte gehofft, jemand würde den RS-Vektor erwähnen. Aber auch das ist wie der verkleidete Faraday-Tensor, der beispielsweise die Feldvektoren als Superpositionen der Pauli-Matrizen schreibt und dann den RS-"Vektor" durch eine Spinorabbildung $F\mapsto \Lambda F \Lambda^\dagger$ transformiert, wo $\Lambda$ ist das $SL(2,\,\mathbb{C})$-Element, das die Lorentz-Transformation darstellt. Schönes Papier übrigens.
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Ich stimme dem Faraday-Tensor zu. Wie gesagt, der RS-Vektor hat Probleme mit Lorentz-Transformationen. Und vielen Dank für die netten Worte.

Wenn das sehr gut passt, können wir schreiben, dass das elektromagnetische Feld gleich ist

F E M = E + B =−∇ϕ+∇× A

oder können wir?

Nein! Um Himmels Willen, nein!

Addieren Sie diese Felder nicht einfach zusammen ... es ist keine nützliche Größe.

Im SI-System Eund Bverschiedene Einheiten haben. Ein weiterer guter Indikator dafür, dass Sie sie nicht einfach zusammenfügen möchten ....

Außerdem ist das elektrische Feld nicht immer longitudinal (d. h. nicht immer gleich dem Gradienten eines Skalars − ∇ ϕ ).). Allgemein kann es eine Querkomponente haben: → E = − ∇ ϕ − ∂ → A∂t _

Aber in CGS haben sie die gleiche Einheit, wo sicherlich E 2 ist wird zu B 2 hinzugefügt die ganze Zeit. Auch in SI kann man dem einen oder anderen einfach genug μ voranstellen s und ϵ 's, um die Einheiten zum Laufen zu bringen.
Lassen Sie mich also die Frage neu formulieren: Wenn EM keine Summe von E und B ist, welche Felder summieren sich dann zu EM? Laut Helmholtz gibt es solche Felder (wenn die Bedingungen erfüllt sind) und außerdem sollten diese beiden Felder (Curl-Free und Divergence-Free) EM eindeutig definieren.
@WeSense: Was meinst du mit "sum up to EM"? EM wird in nichtrelativistischer Schreibweise durch die beiden Vektorfelder → E beschrieben und → B . Elektromagnetismus ist eine Theorie , kein Vektor , den man zusammenfassen kann. In relativistischer Schreibweise vereinheitlichen Sie diese Beschreibung zum EM-Feldstärketensor . Und das ist es.
@WeSenseASoulInSearchOfAnswers: Siehe meine Antwort. Außerdem sollten Sie sich fragen, welches Vektorfeld Sie eigentlich bei der Helmholtz-Zerlegung zerlegen. Es kann ein beliebiges Vektorfeld sein, zum Beispiel → E .
@ChrisWhite, ja, Sie können diese Felder hinzufügen, wenn Sie möchten ... aber Sie sollten nicht. Warum nicht einfach → A hinzufügen sich in die Summe? Ich bin sicher, Sie können die Einheiten fummeln, indem Sie einige dimensionale Konstanten einführen, damit die Terme mit A, B und E übereinstimmen. Warum nicht? Weil es sinnlos ist.

Ich finde das Maxwell- Wort in der Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics von Hestenes, auf den Seiten 25/26

Dieser beeindruckende Text präsentiert einen besseren mathematischen Formalismus für die Physik, imo.

Beginnend mit F ( x , t ) = E ( x , t ) + i B ( x , t )...
Die 4 Gleichungen von Maxwell (64..67), die zwei Standpunkte ( E und B ) eines einzelnen Entitäts-'EM'-Feldes beschreiben, können mit nur einer Gleichung (63) ausgedrückt werden:

( 1c ∂t+∇)F=ρ−1cJ _

Das Wort Helmholtz usw. usw. ist in diesem Formalismus nicht vorhanden. Komplexe Zahlen, Vektoren, Matrizen, Tensoren usw. sind besondere Gesichtspunkte, die die geometrische Algebra integriert.

Eigentlich kann das elektromagnetische Feld als Tensor angesehen werden. Die Kombination, von der Wikipedia spricht, ist diese, Eund Bsind in einer antisymmetrischen Matrix F μ ν organisiertmit μ , ν = 0 , … , 4Die Anzahl der unabhängigen Komponenten ist also 6.

Sie können den Vektor F E M frei definieren, aber ich glaube nicht, dass dieser Vektor irgendeinen Wert haben würde. Es würde keinen einfachen Gesetzen gehorchen, und es würde sich herausstellen, dass es keinen praktischen Nutzen im Labor hat.

Ist das elektromagnetische Vektorfeld eine Summe aus E und B?
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